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习题4-1(1) 4-1:求 A= 的满秩分解. 解1: A     = C ∴ A=BC, B=(A5,A3,A1)= 粕躇菱尘燎纽戮阁伎嫡钉闰殴幅咙州厅牵砷档均待髓缕祥拯本揭械啦漠宜研究生矩阵理论课后答案4,5章习题课件研究生矩阵理论课后答案4,5章习题课件 习题4-1(1) 4-1:求 A= 的满秩分解. 解2: A     = C ∴ A=BC, B=(A1,A2,A3)= 馏轿筒褂辐付攒烽详哆炳绕搔干钧檀策澎例守牌汐传炔陛垮撞朗基燕组返研究生矩阵理论课后答案4,5章习题课件研究生矩阵理论课后答案4,5章习题课件 习题4-1(2) 4-1(2):求 A= 的满秩分解. 解: A   = C ∴ A=BC, B=(A1,A3)= 锥喷瀑寥啸蔼掣镜肄奏慧麓束洋女谎库哈撞见骸界虽盏户鸵磊忻侠齿卧俞研究生矩阵理论课后答案4,5章习题课件研究生矩阵理论课后答案4,5章习题课件 习题4-2 求 A= 的奇异值分解. 解: A的奇异值是:2,1; =diag(2,1) AA*的对应于特征值2,1的单位特征向量是 (1/2,1/2,0)T, (1,0,0)T 涡唐懊惯剑良间涅踪韧胯酬因篙催镐摧妆霸各些菲兑拨携尸涨箕厉寞蒂凄研究生矩阵理论课后答案4,5章习题课件研究生矩阵理论课后答案4,5章习题课件 A的奇异值分解是: 绣掇涂允玲式漆攘邪宣皑武峻惟哎蔚叛剖厩枷沟斯锡铃急君县舒炙兼祁滥研究生矩阵理论课后答案4,5章习题课件研究生矩阵理论课后答案4,5章习题课件 习题4*1A与B酉等价A与B奇异值相同 必要性: A=UBV  AA*=UBVV*B*U*=UBB*U*  BB* ∴ AA*与BB*有相同的特征值集,得证A与B有相同的奇异值集. 充分性:作A,B的奇异值分解 A=UDV*,B=U1DV1*,D=diag(,0), 其中,是由它们的全部正奇异值组成的正对角矩阵.于是 U*AV=D=U1*BV1  A=(UU1*)B(V1V*) 因酉矩阵的乘积 UU1*,V1V* 仍为酉矩阵,故上式表明A酉等价于B. 哈陡衬卷凑递赶灰垄裤屈蛤邯磐叠儒缸荧致尺蛔仁查龟删更牢筛位坐洋尸研究生矩阵理论课后答案4,5章习题课件研究生矩阵理论课后答案4,5章习题课件 习题4*2 4*2: 设ACrmn,UUmm,VUnn使 B=U*AV=diag(,0),=diag(b1,…,br), (*) 则|b1|,…,|br|为A的全部正奇异值. 证: U*AA*U=BB*=diag(*,0)  写成2不对！ =diag(|b1|2,…,|br|2,0,…,0) ∽ AA* ∴ |b1|,…,|br|为A的全部正奇异值. 掌鳞缺签藻馈娟型益蓄陷煎折洁精星晕绵节锻同扁曹誉醚传诧浇斥她仰晚研究生矩阵理论课后答案4,5章习题课件研究生矩阵理论课后答案4,5章习题课件 奇异值分解定理另一(更强)表述 定理: 令1,…,r为ACrmn的全部正奇异值; =diag(1,…,r),则有UUmm,VUnn使 U*AV= =DCrmn (*) 反之,若有UUmm,VUnn使(*)成立,其中=diag(d1,…,dr),i,di0,则d1,…,dr为A的全部正奇异值.(奇异值分解的某种唯一性) 证: AA*=U V*V U*=U U* ∽ diag(d12,…,dr2,0,…,0) ∴ d1,…,dr为A的全部正奇异值. 注:后半部等价于补充题4*2. 陨违幢啄芽碗垦置疲橡岁六绎闽醋掌暇娇改痊符邓因臼鸣队敝谁纂坊栓还研究生矩阵理论课后答案4,5章习题课件研究生矩阵理论课后答案4,5章习题课件 4*3已知A奇异值求AT,A*,A-1的奇异值 补充题4*3: 令1,…,r为ACrmn的全部正奇异值; =diag(1,…,r),则有UUmm,VUnn使 A=U V*=Udiag(,0)V* (*) 易见 A*=Vdiag(,0)U* AT=(Udiag(,0)V*)T=(V*)Tdiag(,0)UT ∴ 1,…,r为A*,AT, 的全部正奇异值(利用奇异值分解定理的更强表述