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课程名称：;第一章 数值计算中的误差分析（绪论）;§1.1计算方法的任务与特点;提出数值问题 数值问题是指有限个输入数据（问题的自变量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之间函数关系的一个明确无歧义的描述。这正是数值分析所研究的对象。 ;数值问题举例;设计高效可靠的算法 计算方法的任务之一就是提供求得数值问题近似解的方法—算法。 算法：指把对数学问题的解法归结为只有加、减、乘、除等基本运算，并确定运算次序的完整而准确的描述。;算法分类: 从算法执行所花费的时间角度来讲，若算术运算占绝大多数时间则称其为数值型算法，否则为非数值型算法。 本课程介绍数值型串行算法。（其它类型算法参阅数据结构、并行算法等课程。）; 算法的可靠性：算法的可靠性包括算法的收敛性、稳定性、误差估计等几个方面。这些是数值分析研究的第二个任务。 一个算法在保证可靠的大前提下再评价其优劣才是有价值的。;计算方法的特点;算法应用状态;科学与工程计算过程小结; 鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几个方面问题的求解算法： 函数的插值和曲线拟合 数值积分和数值微分 线性方程组求解、非线性方程（组）求解 代数特征值问题 常微分方程数值解法 ;§1.2 误差知识（误差与数值计算中的误差估计）;一、误差来源及其分类;3）截断误差（方法误差） 数值方法精确解与待求解模型的理论分析解之间的差异。 这是由于我们需要将无穷过程截断为有限过程，而使得算法必须在有限步内执行结束而导致的。;4）舍入误差 在实现数值方法的过程中，由于计算机表示 浮点数采用的是有限字长，因而仅能够区分有限 个信息，准确表示某些数，不能准确表示所有实 数，这样在计算机中表示的原始输入数据、中间 计算数据、以及最终输出结果必然产生误差，称 此类误差为舍入误差。 如利用计算机计算e的近似值en时，实际上 得不到en的精确值，只能得到en的近似e*；这样 e*作为e的近似包含有舍入误差和截断误差两部 分： ;二、误差的度量;1. 绝对误差;2.相对误差;猾茎聋悦茵匹贵赋羔黑魏菩蒸响椰啤傣趁映洲驭佐塘仇虑件羌罚篷凑珐溺研究生翻译第1章课件研究生翻译第1章课件;有效数：当x*为四舍五入得到的近似数，则称x*为有效数。有效数的绝对误差限、相对误差限，有效数字位数;3.有效数字（教材第6页中间）：; 举例：x=π=3.1415926…, 近似数 x1*=3.14102, x2*=3.142; ;Remark1: 有效数的误差限是末位数单位的一半，可见有效数本身就体现了误差界。 Remark2: 对真值进行四舍五入得到有效数。 Remark3:准确数字有无穷多位有效数字。 Remark4: 从实验仪器所读的近似数（最后一为是估计位）不是有效数，估计最后一位是为了确保对最后一位进行四舍五入得到有效数。 例 从最小刻度为厘米的标尺读得的数据123.4cm是为了得到有效数123.cm,读得数据156.7cm是为了得到有效数157.cm。;4.误差度量间的联系;定理证明;Remark 1、该定理实质上给出了一种求相对误差限的方法。 2、仅从 并不能保证x*一定具有n位有效数字。如 设其近似值a=0.484，其相对误差为： 我们并不能由此断定a有两位有效数字，因为;例题;三、数值运算的误差估计;初值误差传播：假设每一步都是准确计算，即不考虑截断误差和???运算进一步引入的舍入误差，仅介绍初始数据的误差传播规律。 研究方法： 泰勒（Taylor）方法 n元函数;复习泰勒公式;泰勒公式分析初值误差传播;相对误差（教材第9页1.2.6式）：;二元函数算术运算误差传播规律; ;方法1计算结果;方法一结果分析;方法2计算结果;简化计算步骤以减少运算次数。;例;一些避免相近数相减示例 当|x|1时;尽可能避免绝对值很小的数做分母，防止出现溢出。;总之, 除了算法的正确性之外, 在算法设计中至少还应: