小波变换基函数.PPT

第三章 小波分析概述 1、小波的产生及定义 2、小波窗的优点 3、一些常用概念 4、连续小波变换 5、离散小波变换 一、小波的产生及定义 小波是一个快速衰减的振荡，是一个时频窗，它具有时频局部化特点，而且其窗口是自适应的。 小波是针对傅立叶分析的一些不足而发展出来的，二者不能相互代替。 傅立叶分析 傅立叶变换和逆变换： 傅立叶变换没有时域局域化的能力，任何局部时域上的变化都会影响整个频域。（例子：一次实现多通道图像的傅立叶变换） 小波基与傅立叶变换基函数的差别？（提问） 小波的定义 1、小波是窗函数： 从中可看出，在远处f(x)必然是有界的，且比x衰减快，注意图形 2、小波具有时频局部化特点，即：时域和频域窗的半径都是有限的（注：窗的中心位置和窗宽类似期望值与方差；注意这里是等效窗宽）。 测不准原理： 注：1）其它类似的还有：光学系统中空间分辨率与光阑/基带波形的界 2） 时频窗面积最小的是高斯函数，但它不是小波, 为什么？为什么不用高斯函数作基带波形（Q） 3）不等式中的常数随傅立叶变换的定义而变（差 ）且时频窗面积＝ 3、小波是振荡的： 4、小波变换可重建（逆变换存在） 注：并非所有小波变换都可重建 由上面四个条件，可推出小波函数应满足的容许性条件(必要条件，逆变换存在的条件，容许小波）： 二、小波的优点——窗口自适应性 小波的收缩与平移（尺度和位移变换） 小波时窗中心 x* b＋ax* 时窗半宽度 时窗范围 小波窗口的自适应性 三、常用的概念 1、框架－Riesz基－正交基 Hilbert空间H中的函数族 称为一个框架，若： 能量特性，回忆Parseval定理：H空间中完全规范正交系列满足 紧框架：当 A=B时 注：框架、紧框架不是正交基，因 不是线性独立的 框架与规范正交基之间的联系：若A=B=1且 （ ) 则 构成一组规范正交基（此时满足Parseval定理） Riesz基：Banach空间中的{ej}若满足 （1）对任意 ,存在 唯一的 aj 使 （2）存在c2c10, 使得对任意 aj有 （范数而非内积，长度） Riesz基与框架的区别？Riesz基是线性无关的/空间不同/能量与长度/Riesz基不一定正交 框架--（线性无关）?Riesz基--- (正交）?正交基 2、Lipschitz正则性（描述函数的光滑程度） 称函数f(t)在t?有Lipschitz指数 ，若存在常数K0和 m次多项式 ，使： 助记： f(t)相当于m次多项式的程度 一致Lipschitz指数：对所有 都成立，且K与t?无关 Lipschitz正则性： f(x)有一致Lipschitz指数a 正则性阶数：a 的上确界 讨论： 若 ，则Lipschitz条件变为： 若a=0, 则f(x)在该点有界但不连续 若 ，则f(x)在该点连续但不可微（例如：第一类不连续间断点） 3、消失矩（描述函数时域的衰减快慢，注意与Lipschitz指数频域定义的相似性和区别） 的k 阶矩： 若 ，而 则称 具有p 阶消失矩 。(回忆k阶导数与傅立叶变换的关系） 四、连续小波变换 定义函数f(x) 的小波变换为： 这是一个加窗的过程，从f(x)中提取出由a,b决定位置、形状的窗内信息。（注意与卷积、相关、内积、积分算子的关系） 反演公式 逆变换：