施密特正交化.PPT

施密特正交化 设 是n维欧氏空间V的一个标准正交基, 是V中向量, 它们在 下坐标分别为 则 问题 任意 n 维欧氏空间, 是否存在标准正交基? 标准正交基: 两两正交、单位向量 线性无关向量组 1. 正交化 2. 单位化 施密特正交化 施密特正交化 则 两两正交. 定理 设 线性无关,令 施密特正交化 则 两两正交. 定理 设 线性无关,令 定理 设 线性无关,令 施密特正交化 则 两两正交. 设 线性无关,令 施密特正交化 则 两两正交. 性质 设 线性无关,令 则 从而 线性无关, 故 证 对s用归纳法. 线性无关, s时, (*)改写为 故 故 可由 所以 又 结论 施密特正交化靠谱！ 线性表出, s=1显然成立. 归纳假设s-1时成立, 推论 有限维欧氏空间必有标准正交基. 几何解释 例 将线性无关向量组化为标准正交向量组 解 例子 (1)正交化 例 将线性无关向量组化为标准正交向量组 解 (1)正交化 例子 例 将线性无关向量组化为标准正交向量组 解 (1)正交化 (2)单位化 则 为所求. 例子 思考1: 施密特正交化中 右边的 改为 可以吗? 哪个方法更好? 思考2: 设A是可逆矩阵, 则存在正交阵P和上三角矩阵U, 使得 A = PU. 谢 谢！