欧氏空间习题精解1设是一个阶正定矩阵而在中定义内积1.DOC

第九章 欧氏空间 习题精解 1.设是一个阶正定矩阵,而 , 在中定义内积 证明在这个定义之下, 成一欧氏空间; 求单位向量 , , … , 的度量矩阵; 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式. 解 1)易见是上的一个二元实函数,且 (1) (2) (3) (4) 由于是正定矩阵,因此是正定而次型,从而,且仅当时有. 2)设单位向量 , , … , 的度量矩阵为,则 = 因此有. 由定义,知 故柯西—布湿柯夫斯基不等式为  2.在中,求之间(内积按通常定义),设: 1) , 2) , 3) , 解 1)由定义,得 所以 2)因为 所以 3)同理可得 , , , 所以 3. 通常为的距离,证明: 证 由距离的定义及三角不等式可得 4在R中求一单位向量与正交。 解 设与三个已知向量分别正交，得方程组 因为方程组的系数矩阵A的秩为3，所以可令 x 即。 再将其单位化，则 即为所求。 5．设是欧氏空间V的一组基，证明： 如果使，那么。 如果使对任一有，那么。 证 1)因为为欧氏空间V的一组基，且对，有 所以可设 且有 即证。 2)由题设，对任一总有，特别对基也有 或者 再由1)可得 即证。 6设是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明： 也是一组标准正交基. 证 因为 同理可得 另一方面 同理可得 即证也是三维欧氏空间中的一组标准正交基. 7.设也是五维欧氏空间中的一组标准正交基, ,其中 , , 求 的一组标准正交基. 解 首先证明线性无关.事实上,由 其中 的秩为3,所以线性无关. 将正交化,可得 在单位化,有 且为 的 8. 求齐次线性方程组 的解空间(作为的子空间)的一组标准正交基. 解 由 可得基础解系为 它就是所求解空间的一组基.将其正交化,可得 再将单位化,可得 且就是所求解空间的一组标准正交基. 9.在R[X]中定义内积为(f,g)= 求R[X]的一组标准正交基(由基1.出发作正交化). 解 取R[X]的一组基为将其正交化,可得 其中( 又因为 所以： 同理可得： 再将单位化,即得 且即为所求的一组标准正交基. 10.设V是一n维欧氏空间,是V中一固定向量, 1)证明:V是V的一个子空间; 2)证明:V的维数等于n-1. 证 1)由于0因而V非空.下面证明V对两种运算封闭.事实上,任取 则有 ( 于是又有( 所以另一方面,也有 ( 即故V是V的一个子空间 2)因为是线性无关的,可将其扩充为V的一组正交基且( ( 下面只要证明:对任意的可以由线性表出，则的维数就是。 事实上，对任意的，都有，于是有线性关系，且 ， 但有假设知： 所以：，又因为，故，从而有： 再由的任意性，即证。 11．1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。 2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。 证：1）设与是欧氏空间的两组不同基，它们对应的度量矩阵分别是：和，另外，设到的过渡矩阵为，即： = = = 另一方面,令 则D的元素为 故的元素 即证.再由皆为V的基，所以C非退化，从而B与A合同。 2）在欧氏空间V中，任取一组基，它的度量矩阵为其中且度量矩阵A是正定的，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，即。于是只要 则由上面1）可知基的度量矩阵为E ，这就是说，就是所求的标准正交基。 12．设是n维欧氏空间V中的一组向量，而 证明：当且仅当时线性无关。 证 设有线性关系 将其分别与取内积，可得方程组 由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于0，即证。 13．证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为+1或-1。 证 设 为上三角矩阵，则 也是上三角矩阵。由于A是正交阵，所以，即 所以，因而 为对角阵。再由知，即证或-1。 14．1）设A为一个n阶矩阵,且,证明A可以分解成 A=QT 其中Q是正交矩阵,T是一上三角矩阵: