欧氏空间中向量的长度三.PPT

由定理1，它可扩充成V的一组正交基 记子空间 显然, 又对 即 为 的正交补. 再证唯一性. 设 是 的正交补，则 由此可得 对 由上式知 即有 又 从而有 即有 同理可证 唯一性得证. ② 维欧氏空间V的子空间W满足: ① 子空间W的正交补记为　　　即 i) ii) iii) 注： ⅳ) W的正交补 必是W的余子空间. 但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补. 称　 为　在子空间W上的内射影. 3．内射影 设W是欧氏空间V的子空间，由 对 有唯一的　　　　　　　　使 一、一般欧氏空间中的正交变换 二、n 维欧氏空间中的正交变换 一、一般欧氏空间中的正交变换 1.定义 即 ， 欧氏空间V的线性变换 如果保持向量的内积不变， 则称 为正交变换. 注： 欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度 不变的正交变换的推广. 2.欧氏空间中的正交变换的刻划 下述命题是等价的： （定理4）设　是欧氏空间V的一个线性变换. 3） 保持向量间的距离不变，即 2） 保持向量长度不变，即 1） 是正交变换； 证明：首先证明1)与2)等价． 即， 两边开方得， 若　是正交变换，则 有， (1) (2) 若　保持向量长度不变，则对 把(3)展开得， 再由(1)(2)即得， (3) 　　是正交变换． 再证明2)与3)等价． 根据２） 故 3）成立. 若 则有， 即， 故 2）成立. 二、 维欧氏空间中的正交变换 1. 维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基 不变的线性变换． 是V的标准正交基，则 也是V 的标准正交基. 1).若 是 维欧氏空间V的正交变换， 事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质 即有， 2).若线性变换 使V的标准正交基 变成 变换． 标准正交基 　 ，则 为V的正交 证明：任取　　　　 设 由　 为标准正交基，有 　故 是正交变换． 又 由于　　　　　　　　　为标准正交基，得 2. 维欧氏空间V中的线性变换　是正交变换 　在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵． 设 为V的标准正交基，且 证明： 的标准正交基， 当 是正交变换时，由1知， 也是V 而由标准正交基 到标准 正交基　　　　　　 的过渡矩阵是正交矩阵. 设 为V的标准正交基，且 再由 1 即得　为正交变换． 由于当A是正交矩阵时， 也是V的 即， 标准正交基， 所以，A是正交矩阵． 1）正交变换的逆变换是正交变换； 2）正交变换的乘积还是正交变换． 3. 欧氏空间V的正交变换是V到自身的同构映射． 因而有， （由同构的对称性可得之） （由同构的传递性可得之） 4. 　维欧氏空间中正交变换的分类： 设　维欧氏空间V中的线性变换　在标准正交基 1）如果 　则称　为第一类的（旋转）; 2）如果 　 则称　为第二类的． 下的矩阵是正交矩阵A，则 例、在欧氏空间中任取一组标准正交基 定义线性变换　为： 则　为第二类的正交变换，也称之为镜面反射． 一、实对称矩阵的一些性质 二、对称变换 三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵 四、实二次型的主轴问题 一、实对称矩阵的一些性质 引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数． 证：设 是A的任意一个特征值，则有非零向量 满足 其中 为 的共轭复数， 令 又由A实对称，有 由于　是非零复向量，必有 故 考察等式， 设Ｖ为欧氏空间，非零向量 ① 若 则 是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组. 一、正交向量组 定义： 如果它们两两正交，则称之为正交向量组. 注： 证：设非零向量　　 　 两两正交. 令 则 由 　知 故　　　　　　线性无关. ④ 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数 ③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组． 例如：　　中 线性无关． 但　　　不是正交向量组. 1. 几何空间　 中的情况 在直