正交函数与傅立叶级数.PDF

正交函數與傅立葉級數  正交函數 在高等數學中，函數可視為廣義向量 (Generalized Vector) 。 3-Dimension中，向量的內積性質： (1) (u, v) (v, u) (2) (ku, v) k (u, v) ，k 為純量 (3) 若 u 0  (u, u) 0 若 u 0  (u, u) 0 (4) (u v, w) (u, w) (v, w ) 2 (5) 長度或Norm ：(u, u) u ，或者u u u ** 廣義的內積觀念亦應具有這些相同的性質。 函數內積的定義： 假設 f , f 為定義於區間 [ a, b ] 內的函數，則 f , f 在 [ a, b ] 內的內積 [ Inner 1 2 1 2 Product] 定義為： b (f 1, f 2 ) f 1(x )f 2 (x )dx a 正交函數 [ Orthogonal Function] b 若 (f 1, f 2 ) f 1(x )f 2 (x )dx 0 ，則稱f 1, f 2 互為正交函數。 a ** 此處 ” 正交( Orthogonal ) ”並非指 ” 垂直( Perpendicular ) ” ，意即無幾何上的意 義。 Ex. f 1(x ) x 2 ,f 2 (x ) x 3 ，在[ 1, 1]內正交。 正交集合 實值函數集合 { (x), (x), (x), } ，若 0 1 2 b ( , )  (x ) (x )dx 0, m n m n  m n a 則該集合稱為在區間 [a, b] 內為正交。 Ex. 函數 1 ，sint ，cost ，cos2t 何者拿掉後，剩下的三個函數會在 t [0,的區間內彼此呈正] 交 ？ [78 年電機高考] Sol sint 1 範 [Norm] 函數 (x的) Norm ，或廣義長度 [ Generalized Length] 定義為 n b 2  (x) ( , )  (x)dx