浅谈矩阵对角化及其应用（米亚兄）.DOC

浅谈矩阵对角化及其应用 写在前面：结识高等代数已经快一年了，我们从最初的认识行列式，一直到到现在的欧几里得空间，逐一学习了线性方程组、矩阵、多项式、二次型、线性空间、线性变换，现在就浅谈一下自己对矩阵对角化及其应用的认识。 众所周知：n维向量空间V中的线性变换可否对角化的问题是高等代数中十分重要的内容，而可对角化的充要条件是关于V的矩阵A可对角化。 内容摘要：文章综述了矩阵可以对角化的条件，讨论了可对角化矩阵的基本性质和结论，给出了矩阵（特殊矩阵如是对称阵）对角化的基本方法，以及对应特征多项式的性质，最后讨论其在特征值、特征向量方面的应用。 关键词 ：矩阵 对角化 特征多项式 特征值 特征向量 导言：文章由矩阵可对角化出发，说明矩阵可对角化的条件、讨论了可对角化矩阵的基本性质和结论，给出了 矩阵（特殊矩阵如是对称阵）对角化的基本方法，以及对应特征多项式的性质，最后讨论其在特征值、特征向量方面的应用。 具体内容： 1、矩阵可对角化的条件： 1）设是n维线性空间的一个线性变换，的矩阵可以在某一组基下维对角矩阵的充分必要条件是有n 个线性无关的特征向量。 2）方块矩阵 A 被称为可对角化的，如果它相似于对角矩阵，就是说，如果存在一个可逆矩阵 P 使得 P??1AP 是对角矩阵。 3）设A 是数域F上的n阶矩阵，如果存在F上n阶可逆矩阵T，使得 TAT=,那么，就说矩阵A 是可以对角化的。 可对角化矩阵的基本性质和结论： 数域F上n阶矩阵A可以对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。 数域F上n阶矩阵A在F内有n个不同的特征根，那么A可以对角化。 属于不同特阵值的特征特真向量是线性无关的。 如果在n维空间V中，线性变换的特征多项式在数域P中有n个不同的根，即有n个不同的特征值，那么在某组基下的矩阵是对角形的。 任一n 阶实对称矩阵都可以对角化。 对任一n阶实对称矩阵A，必存在n阶正交矩阵T使得TAT=diag(,,...,)，其中（,,...,为A的特征根)。 5）实对称矩阵 的任一个特征值都是实数。 6）实对称矩阵 对应于不同特征值的实特征向量是正交的。 2、矩阵对角化的方法及实例解析：（以实对称矩阵为例） ??实对称矩阵是一类很重要的矩阵，它具有一些特殊的性质，特别是，它可以正交相似于一个实对角阵。 　设A 是一个n 阶实对称矩阵，α , β 是任意的n 维实向量，那么 ????????????? ?????(Aα,β)=(α,Aβ)? ???????????????? 　 设A是一个n阶实对称矩阵，T=是一个正交矩阵使得，则,,…是A的所有特征值，而X,X,…X是A的n个相互正交的单位特征向量。 例1　设，求正交矩阵，使得AT为对角阵。== 得的特征值为==1（三重特征值）,当时，由E-A)=0，即：　　得基础解系为， =，= ，把它正交化，得=，=-=，=--= 再将其单位化得：，=，= 当时，由E-A)=0即：， 得基础解系为,将其单位化得： 则,,是的一组单位正交的特征向量，令= 则T是一个正交矩阵。且TAT 例2 设，求正交矩阵，使得AI为对角阵。E-A==(-2)(-8) 得的特征值为=2（二重特征值），。当=2时，由E-A)X=0，即： 得基础解系为，=，把它正交化得：==,=-=。 再将其单位化得：,=。当时，由E-A），即： 　　　　 得基础解系为，将其单位化得：。则,是的一组单位正交的特征向量，令= 则T是一个正交矩阵，且TAT=. 3、可对角化矩阵的应用 可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上都有着十分重要的意义，例如其在求特征值、特征向量方面有着重要的应用，可以简化计算。 1）求方阵的高次幂 一般说,求矩阵的高次幂比较困难,但若矩阵A 能相似于对角矩阵(A 可以对角化),即若存在可逆矩阵P,使得PAP=B,其中B 是对角阵.则A=PBP,A =（PBP) =PBP PBP…PBP =PBP,而对角阵B 的n次幂是由各对角元素的n次幂组成,所以可通过A 的相似对角阵来求