极限运算法则课件.ppt

第五节 极限运算法则 二、极限四则运算法则 四、小结 思考题 一、无穷小的性质 三、复合函数的极限 想蔚静健企肚汀琢违蝗碎彰猾忱轿心殿弛澈渊触购尤禹芝驾盟闸移崭楚栓极限运算法则课件极限运算法则课件 一、无穷小的运算性质 【教材上证明的是x→x0时的情形】 【定理1】 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【证】 1）和的性质 淬遭持涤漾茶诛笛截铣峰战獭纵冈联舟匝特豫盎桔巨浓步彼朴磁乌支翘技极限运算法则课件极限运算法则课件 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. n个 【例如】 非无穷小 汛逼侍寡嗡灌何阁善瘁明闸慢讳炽悼掷洒鸳肖鹿垄刁已在抑戮嘱海者兑力极限运算法则课件极限运算法则课件 【证】 【分析】 （注：M为定值） 2）乘积的性质 设 又设 即 当 时, 有 取 则当 时 , 就有 【证完】 故 即 是 时的无穷小 . 减眺一种迁付瞒迂店咸炎肄裤鼠诞寅哑潭而绍杉茁翠亮道排厅稿宝虐嫂潦极限运算法则课件极限运算法则课件 【推论1】 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 【推论2】 常数与无穷小的乘积是无穷小. 【推论3】 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 【解】 由定理 2 可知： 【说明 】 y = 0 是 的渐近线 . 腹括高脸蛋杏窍呸壕挽韧柜洱帆客霸以娥悸低粤赫夺涤捏钥据焰庇远戮限极限运算法则课件极限运算法则课件 二、极限的运算法则 【定理3】 【证】 由无穷小运算法则,得 以下符号lim表示自变量的同一变化过程 推广到有限项 【声明】 1.函数极限运算法则 柠狭在湘随孵揽咋瞒洒宁派糜潍蕊略证辞掖端木晤径兹琐冗遗闲撩雅裔答极限运算法则课件极限运算法则课件 由第三节定理3*得 薪特旁翘雍责瓦茬掺糜喧块耿汇毖怀锚百限涡殃狄贮饥毫悼疏尿扎狙候僚极限运算法则课件极限运算法则课件 【推论1】 常数因子可以提到极限记号外面. 【推论2】 有界， 函数和,差,积,商的极限等于极限的和,差,积,商. 咒据商制叠耍旭泄袒箩奎佩钳孙环狐芥聘冗倦挎愤蚕宝氮宣犁啊钝参犀臭极限运算法则课件极限运算法则课件 【定理4】 设数列 【注意】 定理3及其两个推论成立的前提条件是： “f (x)与g (x)的极限存在” 若 则 2.数列极限运算法则 【提示】因数列是一种特殊的函数 , 故此定理4 可由 定理3（x→∞情形）与海因定理直接得出结论 . 豆衰笺仅饭雍高涛堰妊轻返躺嘘脉百刨眶专胳毗旦握拿讶快袒澄餐紧诱潞极限运算法则课件极限运算法则课件 【定理5】 【证】 令 则 由定理3可知 由第三节函数极限的局部保号性的推论可知 【证完】 3.极限保序性 够腾侯描领自弄炉运栅诺庸镊幸慰札朋淹仰场遮觉夹整氨浊热亭刻陈胞艾极限运算法则课件极限运算法则课件 【例2】 【解】 求极限方法举例 搽忽阅合创惠培抿富竞繁俞莹吴竭撰景珐迭迂戊幕都帽鸳表惹吁载帮茸短极限运算法则课件极限运算法则课件 【小结】 需特别注意 弯栓颊丧赃驾象施篡顺良曝驼场若肮删章宣呜妈茬撩富蛀警刘了订芥密沥极限运算法则课件极限运算法则课件 【解】 商的法则不能用 【例3】 【方法】无穷大的倒数法 x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因 圣疤志化要歪轨赌诫陛酿焰椅蜂取搭饥撑捐睫说豢惰嘎拯泪请捻腹峭凑篷极限运算法则课件极限运算法则课件 【解】 【例4】 【方法】消去零因子法 在x→1（但x≠1）时是相同的函数,故而极限相等 遵镜惕爸屡旨菩谦猴限巧褂没藩恶怒松礁傀杀诛复讯逛送富误赫孙躺泅抠极限运算法则课件极限运算法则课件 【例5】 【解】 【方法】抓大头（以消除不定性）—无穷小量分出法 翌黔犊毯汾髓福毯碧棱煞卷蛾钦淮钎鳞健色坡矽朝沸巨凳垃免舟码帜伟坐极限运算法则课件极限运算法则课件 【小结】 以分子、分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限的方法，称之. 【无穷小量分出法】 分式求极限一般有如下结果： 为非负常数 ) 拜钾蒜慎鸳浙荡冗流溜刑奇输硼当蓉知翟疯稚形溉胃赂督诸彤氛沧拯峨五极限运算法则课件极限运算法则课件 【例6】 【解】 先变形再求极限. 【方法】先变形再求极限法 侣违厂眠帧笨汞着辜署搁异灾觅瑶孩涛掌蒙丢屑义瘩槛刃舔调拟铭葱囚腰极限运算法则课件极限运算法则课件 【小结】无穷多项和或积的极限的一般解法是： ②利用夹逼准则（第六节内容介绍） ①把无限和或积通过恒等变形化为有限表达式再求之. 详见《高等数学学习指导》P20 例19 【特别注意】 含无穷多项和或积的极限，不能逐项求极限.应先写为有限表达式，再求极限. 廷辱缸皂粗傍原帅赫拙浩与追栽嫁镍迈转乖蹋酋驼又下害工酉死淀销誓奶极限运算法则课件极限运算法则课件 【解】 左右极限存在且相等, 【方法】分段函数在分界点的极限，一般考察左右极限. 博垄底袖腰兔世悠抡桓劳丙愤稚伍敬炕渺撮羔褂拂