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洛朗级数展开习题精讲课件.pptVIP

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洛朗级数展开习题精讲课件

浆铃镁网媳执掘祁验艾揣掀灸膏惫喀辐亮荣余焙邢侗球谅辆置还渐揩肠杂洛朗级数展开习题精讲课件洛朗级数展开习题精讲课件;§3.5 洛朗(Laurent)级数展开;教学目的与要求: 了解双边幂级数,了解洛朗级数与泰勒级数的关系,掌握解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法. 重点: 解析函数的洛朗展式;解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法. 难点:解析函数的洛朗展式的证明.;一、双边幂级数(含有正、负幂项);收敛区域(环)的确定: 正则部分 收敛(圆) 区域为: 负幂部分 令 则 设 → 即负幂部分在|z-z0|=R2的圆外收敛。;由此,我们可以用它的正幂项级数和负幂项级数的敛散性来定义原级数的敛散性。 规定:当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛时,原级数收敛,并且把原级数看成是正幂项级数与负幂项级数的和。 讨论: (1)若R1R2,则双边幂级数处处发散, (2)若R1R2,则双边幂级数就在R2|z-z0|R1环状区域内收敛,环状收敛域称为收敛环。 双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛,在环外发散,在环上敛散性不定。;正则部分 主要部分;双边幂级数的性质 定理1:双边幂级数 在收敛环上的和函数是一解析函数,并且在任意较小的闭圆环上 一致收敛。;定理3:设函数f(z)在环状区域R2|z-z0|R1的内 部单值解析,则对于环内任一点z,f(z) 必可展开成 ,其中;几点说明: (1) z=z0(即展开中心)可能不是f(z)的奇点,但 在|z-z0|≤R2上,存在奇点(即内圆以内存在 奇点); (2) 洛朗系数 ,因为 成立的条件是f(z)在C内解析; (3) 洛朗展开的唯一性;;(4) 如果只有环心z0是f(z)的奇点,则内圆半径可以任意小,同时z可以无限地接近z0点,这时就称 为f(z)在它的孤立奇点z0的邻域内的洛朗展开式。若f(z)在z0不解析(不可微或无意义),而在去心邻域0|z-z0|ε内解析,则称z=z0是f(z)的孤立奇点。若在z0无论多么小的邻域内,总有除z0外的奇点,则称z0为f(z)的非孤立奇点。 泰勒级数在其收敛圆内具有的许多性质在收敛圆环域R2|z-z0|R1内的洛朗级数也具有。 在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项求导、逐项积分、和函数是解析函数。;求洛朗展开式的系数Cn 洛朗展开式的系数Cn用公式计算是很麻烦的, 由洛朗级数的唯一性,我们可用别的方法,特别是代数运算、代换、求导和积分等方法展开,这样往往更便利(即间接展开法) 。 同一个函数在不同的收敛圆环域内的洛朗级数一般不同;由洛朗级数的唯一性可知,同一个函数在相同的收敛圆环域内的洛朗级数一定相同。;例1 求函数 在圆环 的洛朗级数。 ;用到已有的展开:;例2 将函数在指定去心领域内展成洛朗级数 并指出收敛范围 ;用1-z去换上式中的z得到:;即;则;我们知道 在原点邻域上的展开式为;注:以上每项分别是;应当指出,根据定理公式直接求一个函数的洛朗级数是很困难的;附录:常见函数泰勒展开;擅饱粮酌挞躯骂呵悼省俞嗓野丁泳颂腻晋舜畔贬介楼脚族岗爽窥汀泛滁闷洛朗级数展开习题精讲课件洛朗级数展开习题精讲课件;谢谢观看

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