8_数值分析方程求根Q课件.ppt

随着科学技术的发展，计算机在科学与工程计算中的广泛应用，科学与工程计算已被推向科学活动的前沿。在研究科学与工程计算中的许多实际问题都需要求非线性方程或非线性方程组。非线性方程及非线性方程组在现实社会中有很广泛的应用，例如：非线性有限元问题、非线性断裂问题、及其它非线性力学问题、电路问题、电力系统计算、医学、生命学、天气预报、非线性规划、经济问题等。其中相当多的是由拟线性或非线性偏微分方程离散化得到的。; 数学物理中的许多问题常常归结为解函数方程(非线性方程) f(x)=0 ，f(x) 可是代数多项式，也可是超越函数。方程 f(x)=0 的解 x* 称为它的根，或称为 f(x) 的零点。; 对于高次代数方程，由代数学知识知，其根的个数与代数方程的次数相同，对于超越方程，可能没有零点，也可能有一个或若干个零点，甚至无穷多个零点。求解非线性方程零点的问题，没有一般的求根公式，而实际问题也并不一定需要求得精确解，只要求得满足精度要求的根的近似值就可以了。 求解非线性方程的根的问题大致可分为下面几个方面： (1) 根的存在性。即方程有没有根，如果有根，有几个根？ (2) 根的分布。即求出根的区间。 (3) 根的精确化。即已知根的近似值后，设法逐步把根精确化，直到满足精度为止。 本章介绍几种常用的、有效的数值计算方法。;4.1 非线性方程的迭代解法;4.1.1 对分法（二分法）;?逐步有哪些信誉好的足球投注网站法;注：逐步有哪些信誉好的足球投注网站法，步长h的选择很难恰到好处，若h取得较大，则精度较差，若h足够小，精度提高了，但计算量增加了许多。因此，如果精度要求较高的话，此方法不太经济。; 设一元非线性函数 f (x) 在 (a, b) 内只有一个实根 s , 用二分法求实根的过程如下: 令 a0=a, b0=b . 对于 k = 0, 1, 2, …, n 执行;a;有根区间：;误差 分析：;解：计算如下表;4.1.2 简单迭代法及其收敛性 ( Fixed-Point Iteration );从一个初值 x0 出发，计算 x1= g(x0), x2= g(x1), … , xk+1= g(xk), … 若 { xk } 收敛，即，存在实数 s 使得;定义：迭代公式 xk+1= g(xk) (k= 0,1, …) 被称为求解方程 f(x)=0 的简单迭代法，其中g(x)称为迭代函数。;例:;k; ;k;?收敛性问题的图示;x;定理4.1 考虑方程 x = g(x), g(x)?C[a, b], 若 (I) 当 x?[a, b] 时， g(x)?[a, b]； (II) ? 0 ? L 1，使得 | g(x) | ? L 1,? x?[a, b]。 则，任取 x0?[a, b]，由 xk+1 = g(xk) 得到的序列 { xk} 收敛于g(x) 在[a, b]上的唯一不动点 s。并且有误差估计式：;证明：① g(x) 在[a, b]上存在不动点？;④;?局部收敛性;例1 用简单迭代法求方程 x–lnx =2 在区间(2,∞)内的根 s, 要求;g(x)= 2 + lnx 的图像;k;function y=JDDDL31(x0,epsilon) ek=1;xk=x0; %n=1; for n=1:16 yk=g(xk); xk=yk; ek=abs(yk-xk)/abs(xk); fprintf(\n y%d = %15.14f \n,n,yk) end fprintf(\n ek=|yk-xk|/|xk|= %f \n,ek) y=yk; %%%%%%%%%%%%%%% function Y=g(x) Y=2+log(x);; x0=3 x0 = 3 epsilon=0epsilon = 1.0000e-008 y=JDDDL31(x0,epsilon) y1 = 3.09861228866811 y2 = 3.13095436244972 y3 = 3.14133786620793 y4 = 3.14464878121798 y5 = 3.14570220862786 y6 = 3.14603714301273 y7 = 3.14614361099129 ;补例 用简单迭代法求方程 x =e-x 在x=0.5附近的一个根, 要求;function y=JDDDL31(x0,epsilon) ek=1;xk=x0; %n=1; for n=1:16 yk=g(xk); xk=yk; ek