球的体积与表面积-阜宁东沟中学.PPT

* 球的体积与表面积 阜宁县东沟中学高一数学组 复习 １．柱体的体积公式 ２．锥体的体积公式 ３．台体的体积公式 V柱体= s h V锥体= V台体= 这些公式推导的依据是什么？ (一)球的体积 两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等． 祖暅原理： 思考 : 是否可运用此原理得到球的体积? ? ? R ? 观察：半球的体积与底面积相等的旋转体体积对比 结论： (一)球的体积 R r l o ? 因此 S圆 = ? = ? ( ) = ? ? l l o l l 设球的半径为R,截面半径为r,平面?与截面的距离为 那么 r = (一)球的体积 R r l o ? o 因此 S圆 = ? = ? ( ) = ? ? 设球的半径为R,截面半径为r,平面?与截面的距离为 那么 r = (一)球的体积 o l R r l o ? o O1 L P N K l B O2 S圆环 = ? ? 圆环面积 S圆 = S圆环 因此 S圆 = ? = ? ( ) = ? ? 设球的半径为R,截面半径为r,平面?与截面的距离为 那么 r = (一)球的体积 R r l o ? o O1 L P N K l B O2 (一)球的体积 根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即 = V球 = ? ? ? 所以 V球 = ? 探究 （二）球的表面积 分割 求近似值 化为精确值 无限分割逼近精确值 R 探究 （二）球的表面积 当n足够大时 准锥体 例1、(1)钢球直径是5cm,则它的体积为 。 表面积为 。 三、公式的应用 （2）某街心花园有许多钢球,每个钢球重145kg，并且外径等于50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的．如果是空心的，请你计算出它的内径（钢的密度是7.9g/cm3，π取3.14，结果精确到1cm）． 解：由于外径为50cm的钢球的质量为： 街心花园中钢球的质量为145000g，而145000517054，所以钢球是空心的， 三、公式的应用 解得： 答：钢球是空心的．其内径约为45cm． 设其内径是2xcm，那么球的质量为： 所以2x = 44.8≈45 （3）如图是一个奖杯的三视图,单位是cm， 试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积. (精确到0.01cm) 8 6 6 18 5 15 15 11 11 x/ y/ z/ 三、公式的应用 解：这个奖杯的体积为 V=V正四棱台+V长方体+ V球 其中 V正四棱台 V长方体=6×8×18=864 V球= 所以这个奖杯的体积为 V ≈ 1828.76（cm3） 三、公式的应用 例2、（1）把半径为3cm钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸制作纸盒? 球内切于正方体 分析：用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 两个几何体相切:一个几何体的各个面与 另一个几何体的各面相切. 三、公式的应用 例2、 （2）把正方体的纸盒装入半径为4cm的 球状木盒里,能否装得下? 分析：半径为4cm的球状木盒能装下的最大正 方体与球盒有什么位置关系？ 球外接于正方体 两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在 另一个几何体的表面上。 三、公式的应用 练习：（1）一个正方体内接于半径为R的球内, 则正方体的体积为 。 （2）棱长为a的正方体内有一个球与这 个正方体的12条棱都相切，则这个 球的表面积为 。 三、公式的应用 (3) 有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,则这三个球的体积之比为 . 表面积之比为 . * * *