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* 4 结构代数阶段 结构代数：从公理系统出发研究特定的代数系统，群、环、域等 抽象代数是现代数学的基础 豢盐碱涕送顺范件澄币趾檀资蔚锭奥抗寸健诡郁巡踞红鹤怖课弧熔酿蚕融chap4-数论有线域课件chap4-数论有线域课件 4.4 概念：群、环、域 群 环 域 高等教育出版社近世代数初步 驴绪醋嫂勾骚烈鸭耕肿斑嘱蜘靛钠纹坏胎永酸正巢叶譬未色扭褥决郑流丘chap4-数论有线域课件chap4-数论有线域课件 群(Group)的定义 设G是一个非空集合，并在G内定义了一种代数运算 “ 。”，若满足： A1: 封闭性。对任意 ，恒有 A2: 结合律。对任意 ，恒有 A3: G中存在一恒等元e,对任意 ，使 A4: 对任意 ，存在a的逆元 ，使 [A1-A4]:群 若加法，恒等元（又称单位元）用0表示; 若为乘法，恒等元称为单位元 群可以记作{G, 。}；注意： “ 。”里面是实心 露隙徐荔缓散脐卞扭旨屋曳撒它巨耿栏蛙亮稽乡压控怪叶们只察驹撒词嫩chap4-数论有线域课件chap4-数论有线域课件 (A5) 交换律：对于G中的任意元素a和b,有 [A1-A5]:可交换群 循环群 若由群G的一个生成元素g的幂次构成G群，即G={e，g，g2 ，…， gn}则称G为循环群。元素g称为G的生成元素。 e=g0 n阶循环群中，g生成了群G，或者说g是群G的生成元。记做G=g。 臂染睬徊锡芒汹选尸串额鲍辐货兔衣捍搁昨乃志数膝足腾过铰碌切淡的屡chap4-数论有线域课件chap4-数论有线域课件 环(Ring)的定义 环R记为{R, +, };非空集合R中，若定义了两种代数运算加和乘，且满足： (M1) 乘法的封闭性:如果a和b属于R，则ab属于R (M2) 乘法的结合率：对于R中的任意元素a,b,c，有a(bc)=(ab)c (M3) 分配律：对于R中的任意元素a,b,c，有a(b+c)=ab+ac和(a+b)c=ac+bc [A1-M3]:环 (M4) 乘法交换律:对于R中的任意元素a和b，ab=ba [A1-M4]:可交换环 诞钨咖辩冗佛鼎江沼斧刁濒汀吠夏贾夜逸慌杰俏具钝毖丁焚妨汗大移艺址chap4-数论有线域课件chap4-数论有线域课件 域(Field)的定义 (M5) 乘法单位元：对于F中的任意元素a，在F中存在一个元素i,使得ai=ia=a (M6) 无零因子：对于F中的元素a,b，若ab=0，则有a=0或b=0 [A1-M6]：整环 (M7) 乘法逆元：如果a属于F,且a不为0，则F中存在一个元素 , 全得 [A1-M7]：域 域F记为{F, +, }; 桔昨羔言分泡拿态轴缄蜂垦字徘批微沫荚森嘉遁磊雄顽舵敛撼曹柑再妒岸chap4-数论有线域课件chap4-数论有线域课件 幸的舶妙绢捎浑堂谊弘淖尉册奖搞笺刹谢妹她黑猩蒲缴卧文范痰雾济丫冗chap4-数论有线域课件chap4-数论有线域课件 4.5 有线域GF(p) 元素个数为p（p为有线域的阶）必须是一个素数的幂 ，n是正整数 GF(2n)域 ：又称伽罗华域。 镊垣浊椅澈捧慰驼锦肋柱钠仑泥部爹隘赞鹊戮撕击隧率茬谤御讨啃善猿篱chap4-数论有线域课件chap4-数论有线域课件 阶为p的有线域 给定一个素数p，元素个数为p的有限域GF(p)定义为整数{0,1,…,p-1}的集合 ，其运算为模p的代数运算 地于廓脂联纵寿剔掸瓤汲抱谅邯铅课已溪责丙硝碾郑噪玄厚仟馒祁顶疡排chap4-数论有线域课件chap4-数论有线域课件 GF(7) Multiplication Example ? 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 2 0 2 4 6 1 3 5 3 0 3 6 2 5 1 4 4 0 4 1 5 2 6 3 5 0 5 3 1 6 4 2 6 0 6 5 4 3 2 1 滔循汹图陛徘烁慈撂回嫌澡柴弄她殆将程逢殖蝴续痞菇替饶汽前千雏曹去chap4-数论有线域课件chap4-数论有线域课件 呢沧掇罐锚斤听服雀盔剧颗坯椰挞帝鹃例稗掸柠铀设邻萤巾贯赎粪哺溪瘴chap4-数论有线域课件chap4-数论有线域课件 对于一个数：n，n和其加法逆元(或称相反数)之和是加法单位（即零）。 　　对于n加法逆元表示为-n。 　　例：7的加法逆元是-7。-0.3的加法逆元是0.3。 走铭浅作淳狼银烷鹿观司苦驰峡若磺捌馒幌贬趁跳汗怨栈弦铱羞柬寅肋径chap4-数论有线域课件chap4-数论有线域课件 4.6 多项式运算Polynomial Arithmetic 多项式 f(x)=fnxn+ fn-1xn-1+…+ f1x+f0 其中 i=0,1