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第2章　误差的基本性质与处理 ;; 三大类误差的特征、性质以及减小各类误差对测量精度影响的措施 掌握等精度测量的数据处理方法 掌握不等精度测量的数据处理方法;2.1 随机误差 一、随机误差产生的原因 二、随机误差的分布及其特性 三、算术平均值 四、测量的标准差 五、标准偏差的几种计算方法 六、测量的极限误差 七、不等精度测量 八、随机误差的其他分布 九、减小随机误差的技术途径 2.2 系统误差 一、研究系统误差的重要意义 二、系统误差产生的原因 ;　　 当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下一个数据的大小和方向。但就误差整体而言，却明显具有某种统计规律。 　　　 随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构成，主要有以下几方面： 　　　 ① 测量装置方面的因素 　　　 ② 环境方面的因素 　　　 ③ 人为方面的因素 ;　 随机误差的分布可以是正态分布，也有在非正态分布，而多数随机误差都服从正态分布。我们首先来分析服从正态分布的随机误差的特性。 　　　设被测量值的真值为　，一系列测得值为　，则测量列的随机误差　可表示为： (2-1) 　 式中　　　　　　　。 正态分布的分布密度　　与分布函数　　为 (2-2) (2-3) 　 式中：σ——标准差（或均方根误差） 　　 　 e——自然对数的底，基值为2.7182……。 它的数学期望为 (2-4) 它的方差为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2-5);　其平均误差为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2-6) 　此外由　　　　　　　可解得或然误差为 ： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2-7) 　由式（2-2）可以推导出： 　　　① 有 　　　　, 　　　　 可推知分布具有对称性，即绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性； 　　　② 当δ=0时有 　??　 ，即 　　　　，可推知单峰性，即绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称为误差的单峰性； 　　　③ 虽然函数　　的存在区间是[-∞,+∞]，但实际上，随机误差δ只是出现在一个有限的区间内，即[-kσ,+kσ],称为误差的有界性； 　　　④ 随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零：　　　 这称为误差的补偿性。 ;　 图2-1为正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。σ值为曲线上拐点A的横坐标，θ值为曲线右半部面积重心B的横坐标，ρ值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。 ; 对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此其获得的测量值不完全相同，此时应以算术平均值作为最后的测量结果。 (一)算术平均值的意义 设 为n次测量所得的值，则算术平均值为: (2-8) ;下面来证明当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值Lo。 即 由前面正态分布随机误差的第四特征可知 ，因此 由此我们可得出结论：如果能够对某一量进行无限多次测量，就可得到不受随机误差影响的测量值，或其影响很小，可以忽略。这就是当测量次数无限增大时，算术平均值（数学上称之为最大或然值）被认为是最接近于真值的理论依据。但由于实际上都是有限次测量，因此，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。 ; 一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式（2-1）求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随机误差称为残余误差，简称残差： (2-9) 此时可用更简便算法来求算术平均值 。任选一个接近所有测得值的数 作为参考值，计算每个测得值 与 的差值： (2-10) 式中的 为简单数值，很容易计算，因此按（2-10）求算术平均值比较简单。 ;例 2-1 测量某物理量10次，得到结果见表2-1，求算术平均值。 　　　　　　　　　　　　　　　　解：任选参考值　 =1879.65， 计算差值 和 列于表 很容易求得算术平均值