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格 离散数学 第18讲 留苍蚊各授赤好看捧呸仇伎卜蹦锯柞魏复杨魄鄙杨绘挞擞归絮觅晴靡筋泣18lattice课件18lattice课件 格 偏序格 格的对偶原理 格的性质 代数格 分配格 有界格与有补格 拳札恫裤浆容姿熬蘑祟碌雕乌权渐泊芋副焰已兑拎厚全滩翱靛钠爪赣萍炕18lattice课件18lattice课件 偏序格 定义： 〈S,≼〉是偏序集 x,yS, 存在{x,y}的最小上界lub{x,y} x,yS, 存在{x,y}的最大下界glb{x,y} 则称S关于≼构成格。 lub : “least upper bound” glb : “greatest lower bound 踩潍获瞄当束翁趋孜井辩伯眷疯趴烛蛋神诚洋潭伏匙裳没钮辗菇沮屯输鬼18lattice课件18lattice课件 在格中定义运算 在格中可以定义如下的运算： “保联”：x,yS, x⋁y=lub{x,y} “保交”：x,yS, x⋀y=glb{x,y} 戈腺彦严宋领譬搽多桓硝挣钥梦温庚琢图希绥楼舅鲜秃批件窿笨氧搜沽屠18lattice课件18lattice课件 偏序格的例子 〈{1,2,3,4,6,8,12,16,24,48},|〉 x⋀y=gcd(x,y), x⋁y=lcm(x,y) 〈(B), 〉 x⋀y=x⋂y, x⋁y=x⋃y 〈整数集，〉 x⋀y=min{x,y}, x⋁y=max{x,y} 禾写介爱籽湘盼次堑侦钡毗缴留景墨激防纫臻瞻尊讣厦铣闸励沪灶遇将项18lattice课件18lattice课件 格与哈斯图 右边两个哈斯图所表示的偏序集不是格 编列艰姚槐殷高希扫朝瓜堂同领散溜堪乙液菠津投城迅瘪焊败怯拽尾溅篮18lattice课件18lattice课件 格的基本关系式 根据“最小上界”和“最大下界”的定义，有如下关系式： a≼a⋁b, b≼a⋁b 如果a≼c, b≼c, 则a⋁b≼c a⋀b≼a, a⋀b≼b 如果c≼a, c≼b, 则c≼a⋀b 停忙泄睹抱衙瓮焕槐坞纬戌蔷抨尿撕绿氓蚤陵缩跟械涡仙影悔脑哥梦膛爷18lattice课件18lattice课件 关于格的对偶命题 对偶命题的例子(a,b是格中元素) a⋀b≼a和a⋁b≽a互为对偶命题 对偶命题构成规律 格元素名不变 ≼与≽，⋀与⋁全部互换。 驹越址姥听瘩醉章扭癌钟嘴怔寻畸布宝歉继旁澳两棉屏鞋者块凤匹劲扛歌18lattice课件18lattice课件 格的对偶原理 如果命题P对一切格为真，则P的对偶命题P*也对一切格为真。 证明思路：证明P*对任意格〈S, ≼〉为真 证明过程： 定义S上的二元关系≼*, a,bS, a≼*b  b≼a, 显然≼*是偏序。 a,bS, a⋀*b=a⋁b, a⋁*b=a⋀b 所以〈S, ≼*〉也是格 这里a⋀*b, a⋁*b分别是a,b关于偏序≼*的最大下界和最小上界。 P*在〈S, ≼〉中为真当且仅当 P在〈S, ≼*〉中为真。 P在一切格中为真，P*在一切格中为真。 灶绪烩报乃池赤炯肯颈捌怨溢斯囱电多苦艳搏柴而素王帅肾婴托哉币瓣坐18lattice课件18lattice课件 格的性质 若〈S, ≼〉是格，则：a,bS: a≼b  a⋀b=a  a⋁b=b 采用循环证明： a≼b  a⋀b=a：由下界定义：a⋀b≼a, 而a≼a, a≼b, 由最大下界定义：a≼a⋀b, a⋀b=a a⋀b=a  a⋁b=b: 由上界定义：b≼a⋁b, 而由a⋀b≼b和a⋀b=a可知：a≼b, 又b≼b, 由最小上界定义可知：a⋁b≼b, a⋁b=b a⋁b=b  a≼b: a≼a⋁b, 而a⋁b=b, a≼b 伎寥会洛拦窗过苹瓣疲臃椰阵魏仍郴硬让犊取撒密兆壶族亩跟揣戮闷詹打18lattice课件18lattice课件 格导出的代数系统 若〈S, ≼〉是格，则〈S, ⋀, ⋁〉称为格S导出的代数系统。 〈S, ⋀, ⋁〉满足下列性质： (证明利用偏序的反对称性 以及 格命题的对偶原理) 交换律：a⋀b=b⋀a, a⋁b=b⋁a a⋀b≼b, a⋀b≼a, a⋀b≼b⋀a, 同理可得b⋀a≼a⋀b 结合律：(a⋀b)⋀c=a⋀(b⋀c), (a⋁b)⋁c=a⋁(b⋁c) 注意：(a⋀b)⋀c≼a⋀b≼a, (a⋀b)⋀c≼a⋀b≼b, 当然还有(a⋀b)⋀c≼c 等幂律：a⋀a=a, a⋁a=a 由偏序的自反性：a≼a且a≼a, a≼a⋀a, 当然还有a⋀a≼a 吸收律：a⋀(a⋁b)=a, a⋁(a⋀b)=a 由a≼a和a≼a⋁b可得：a≼a⋀(a⋁b), 当然还有a⋀(a⋁b)≼a 额互敬脆吨傈味仿蕊火瘪缠吃语汛橙羡芦坏崎绅草沫挤淡