相似矩阵及二次型本章我们所讨论的矩阵均为方阵对于方阵.DOC

第五章 相似矩阵及二次型 本章我们所讨论的矩阵均为方阵. 对于方阵,尽管线性变换可能会把向量往各种方向上移动,但其中存在一些特殊的向量,在其上的作用十分简单. 例如,设,. 则,即在上的作用相当于将向量拉伸为原来的两倍(见右图). 在本章中,我们要研究形如(为一数量)的方程,并且求那些被作用相当于被数乘作用的向量,此即为方阵的特征值与特征向量问题,它们在纯数学和应用数学中有广泛的应用,并且在工程设计、生态系统分析等许多学科领域中具有广泛的应用背景. 第一节 向量的内积、长度及正交性 在第三章中，我们研究了向量的线性运算，并利用它讨论向量之间的线性关系，但尚未涉及到向量的度量性质. 在空间解析几何中，向量和的长度与夹角等度量性质可以通过两个向量的数量积 来表示，且在直角坐标系中，有 , . 本节中，我们要将数量积的概念推广到维向量空间中，引入内积的概念, 并由此进一步定义维向量空间中的长度、距离和垂直等概念. 分布图示 ★ 引言 ★ 内积的定义与性质 ★ 例1 ★ 例2 ★例3 ★ 向量的长度与性质 ★ 单位向量及n维向量间的夹角 ★ 例4 ★ 例5 ★ 正交向量组 ★ 向量空间的正交基 ★ 求规范正交基的方法 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 正交矩阵与正交变换 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题4-1 内容要点 一、内积及其性质 定义1 设有维向量 令 称为向量与的内积. 注:内积有时也记作. 内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数, 按矩阵的记法可表示为 内积的运算性质 (其中,为维向量, (1) (2) (3) (4) ; 当且仅当时, . 二、向量的长度与性质 定义2 令 称为维向量的长度(或范数). 向量的长度具有下述性质: (1) 非负性 ;当且仅当时, ; (2) 齐次性 ; (3) 三角不等式 ; (4) 对任意维向量, 有 . 注: 若令 则性质(4)可表示为 上述不等式称为柯西—布涅可夫斯基不等式，它说明中任意两个向量的内积与它们长度之间的关系. 当时, 称为单位向量. 对中的任一非零向量, 向量是一个单位向量,因为 注: 用非零向量的长度去除向量,得到一个单位向量,这一过程通常称为把向量单位化. 当 定义 . 称为维向量与的夹角. 三、正交向量组 定义3 若两向量与的内积等于零，即 ， 则称向量与相互正交. 记作. 注: 显然,若, 则与任何向量都正交. 下面的图示给出了关于正交向量的一些重要事实. 定义4 若维向量是一个非零向量组，且中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组. 定理1 若维向量是一组正交向量组，则线性无关. 四、规范正交基及其求法 定义5 设是一个向量空间， ① 若是向量空间的一个基，且是两两正交的向量组，则称是向量空间的正交基. ② 若是向量空间的一个基,两两正交, 且都是单位向量, 则称是向量空间的一个规范正交基(或标准正交基). 若是的一个规范正交基, 则中任一向量能由线性表示, 设表示式为 , 为求其中的系数可用左乘上式, 有 即 这就是向量在规范正交基中的坐标的计算公式.利用这个公式能方便地求得向量在规范正交基下的坐标为： 因此, 我们在给出向量空间的基时常常取规范正交基. 规范正交基的求法: 设是向量空间的一个基,要求的一个规范正交基, 也就是要找一组两两正交的单位向量,使与等价. 这样一个问题,称为把这个基规范正交化，可按如下两个步骤进行： (1) 正交化 容易验证两两正交,且与等价. 注: 上述过程称为施密特(Schimidt)正交化过程. 它满足:对任何, 向量组与等价. (2) 单位化: 取 则是的一个规范正交基. 注： 施密特(Schimidt)正交化过程可将中的任一组线性无关的向量组化为与之等价的正交组；再经过单位化，得到一组与等价的规范正交组 五、正交矩阵与正交变换 定义6 若阶方阵满足 (即), 则称为正交矩阵, 简称正交阵. 定理2 为正交矩阵的充分必要条件是的列向量都是单位正交向量组. 注：由与等价,定理的结论对行向量也成立.即为正交矩阵的充分必要条件是的行向量都是单位正交向量组. 定义7 若为正交矩阵,则线性变换称为正交变换. 正交变换的性质：正交变换保持向量的长度不变. 例题选讲 例1设有中的基试求与的