9-系统对任意激励响应-卷积积分课件.ppt

上次内容回顾：等效粘性阻尼、系统对周期激励的响应 讲述的内容 第三章 强迫振动 3.8 系统对任意激励的响应·卷积积分;3．8系统对任意激励的响应·卷积积分 3．7节讨论了周期激励作用下系统的响应。在不考虑初始阶段的瞬态振动时，它是稳态的周期振动。但在许多实际问题中，激励并非是周期函数，而是任意的时间函数，或者是在极短时间间隔内的冲击作用。例如，列车在启动时各车厢挂钩之间的冲击力；火炮在发射时作用于支承结构的反作用力；地震波以及强烈爆炸形成的冲击波对房屋建筑的作用；精密仪表在运输过程中包装箱速度(大小与方向)的突变等。;在这种激励情况下，系统通常没有稳态振动，而只有瞬态振动。在激励停止作用后，振动系统将按固有频率进行自由振动。但只要激励持续，即使存在阻尼，由激励产生的响应也将会无限地持续下去。系统在任意激励作用下的振动状态，包括激励作用停止后的自由振动，称为任意激励的响应，周期激励是任意激励的一种特例。; 有多种方法可以确定系统对任意激励的响应，这取决于描述激励函数的方式。一种方法是用傅里叶积分来表示激励，它是由傅里叶级数通过令周期趋近于无穷大的极限过程来得到的。所以，实质上激励不再是周期的。另一种方法是将激励视为持续时间非常短的脉冲的叠加，引用卷积积分的方法，对具有任何非齐次项的微分方程，都用统一的数学形式把解表示出来，而且所得到的解除代表强迫振动外，还包括伴随发生的自由振动。; 1．脉冲响应 一单位脉冲输入，具有零初始条件的系统响应，称为系统的脉冲响应。 宽度T0、高度l／T0的矩形脉冲，如图所示。这个矩形脉冲的面积为1，为了得到单位脉冲，使脉冲宽度T0接近于零，而保持面积为1，在极限情况下，单位脉冲的数学定义为;这个脉冲发生在t=O处，如图所示。如果单位脉冲发生在t=a处，则它可由下式定义; 具有上述特性的任何函数(并不一定是矩形脉冲)，都可用来作为一个脉冲，称为δ函数。数学上，单位脉冲必须具有零脉冲宽度、单位面积和无限的高度。这样的脉冲模型不可能在现实应用中实现，然而在具体系统的脉冲试验中，若激励的持续时间同系统的固有周期(T=1／f)相比非常的短，则激励就可以考虑为一个脉冲。δ函数的单位为s-1，在其他方面的情况，δ函数将有不同的量纲。; 如果在t=0与t=a处分别作用有瞬时冲量 ，则对应的脉冲力可方便地写成;由于 作用在t=0处，对于t≥0+，系统不再受脉冲力的作用，但其影响依然存在。另外，系统对于零初始条件的响应，将变成t=O+时的初始条件引起的自由振动。;则方程;在区间0-≤t≤O+上积分一次，有;所以方程;牧蒲熊床域肖拈凉孤蝶蕊呐沙李辊旭灵忌氟饿伪刃千揪骂牲昨烩询役讣正9-系统对任意激励响应-卷积积分课件9-系统对任意激励响应-卷积积分课件;2．卷积积分 利用脉冲响应，可以计算振动系统对任意激励函数F(t)的响应，把F(t)视为一系列幅值不等的脉冲，用脉冲序列近似地代替激励F(t)，如图所示，脉冲的强度由脉冲的面积确定，在任意时刻t=τ处，相应的时间增量为△τ，有一个大小为F(τ)△τ的脉冲，相应的力的数学表达为F(τ)△τδ(t-τ)。因为在t=τ处对脉冲的响应为h(t-τ)，所以脉冲F(τ)△τδ(t-τ)的响应为其单位脉冲响应和脉冲强度的乘积，即F(τ)△τh(t-τ)。通过叠加，求出序列中每一脉冲引起的响应的总和为;喷汾漂炊锅述搏休惰碎握沛佣颇尽版但跟蜀撼吩誉翼饵黑肃绞札柑炭如臃9-系统对任意激励响应-卷积积分课件9-系统对任意激励响应-卷积积分课件;令△τ→0，并取极限，上式表示为积分形式;上式表示单自由度有阻尼的质量—弹簧系统对任意激励F(t)的响应。要注意的是，上面方程是在零初始条件下，对于输入F(t)得到的系统输出x(t)。若在t=0时，任意激励F(t)作用的瞬时，系统的初始位移和初始速度为;积分式中的脉冲响应被推迟或移动了时间t-τ，也可以移动激励函数F(t)来代替脉冲响应的移动而导出一个相似的式子。令t-τ=u则-dr=du，此外考虑式中的积分限界，当τ=0时，u=t，当τ=t时，u=0，将其代入式中，得到; 卷积积分在线性系统研究中是一个有力的工具。虽然式;例3．8-1设一单自由度无阻尼系统受到的简谐激励如下：;为当tO时没有激励，所以其响应应该写成下面的形式;例3.8—2 试确定单自由度无阻尼系统在零初始条件下对图中激励函数的响应。;嫉崎渍涌俄稽诊县障镣哑咨项蛀轧撩志癣兹心脖跺帖锄适寺疗丽躬装声啦9-系统对任意激励响应-卷积积分课件9-系统对任意激励响应-卷积积分课件;例3.8—3 如图所示为一质量—弹簧系统，箱子由高h处静止自由下落，当箱子触到地面时，试求传递到质量m上的最大力是多少?假定质量m和箱子之间有足够的间