利用数轴探讨一类最小值求法.doc

利用数轴探讨一类最小值的求法 湖北省黄石市下陆中学　周国强 我们知道，在数轴上若两定点A、B分别表示数a、b，则A、B之间存在点P（设它表示的数为x?，b≤x≤a?），使得它到两个定点A、B的距离之和最小，这个最小值为AB＝|x－a|+|x－b|＝|a－b| (b≤x≤a)（如图1所示）． 　　　　　　　 那么，在数轴上到三个定点A、B、C的距离之和最小的点是否存在呢？若存在，这点又在何处？如图2所示，假设这点（P）就在B处（即|PB|＝0），则有PA+PB+PC＝PA+0+PC＝AC，而当P点不在点B处时，显然都有PA+PB+PC＞AC，假设是成立的．所以在数轴上到三个定点A、B、C的距离之和最小的点就在中间那个点(B点)处，且最小值为AC的长． 　　　　　　　 现在我们继续探讨：数轴上四个定点A、B、C、D的情形，如图3所示，当P在BC之间（含点B、C）时，PA+PB+PC+PD＝BC+AD；当P在AB之间（不含点B）或在CD之间（不含点C）时，如图4所示，PA+PB+PC+PD＝2PB+BC+AD＞BC+AD或PA+PB+PC+PD＝2PC+BC+AD＞BC+AD； 　　　　　　　　　　 当P点在点A左边或点D右边时，|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的值将会更大．于是，我们可以肯定的说，数轴上到四个定点的距离之和最小的点一定在中间那两个点之间（含两个端点），且最小值为|BC|+|AD|． ? 我们还类似的可以得出：数轴上到五个定点A、E、B、C、D的距离之和最小的点P，就在它们当中中间的一个点B处(如图5所示)?．依此类推．．． 　　　　 ? 于是，我们得如下结论： ? 设数轴上有n个定点，当n为偶数时，到这n个定点的距离之和最小的点在第～+1个点之间（含两个端点）；当n为奇数时，到这n个定点的距离之和最小的点在第个点处． ? 这个结论的应用很广，现举两例： ? 例1?　求|x－1|+|x－2|+|x－3|+…+|x－2008|的最小值． ? 析解：设数轴上有2008个点分别表示连续整数1、2、3、…、2008，点P表示数x，则本题就是在数轴上求点P到这2008个整点的距离之和的最小值．因此，必须求出P点表示的数是多少？即点P的位置．因为2008是偶数，由上面结论知，点P所表示的数x应是中间两个点之间的任何一点表示的数，我们不妨取右端点的数x＝1005，得原式的最小值为：|1005－1|+|1005－2|+|1005－3|+…+|1005－2009|＝|1004|+|1003|+|1002|+…+|2|+|1|+|0|+|－1|+|－2|+|－3|+…+|－1004|＝2（1+2+3+…1004）＝（1+1004）×1004＝1009020． ? 例2?某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15、7、11、3、14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校：一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，若甲小给乙小－3台，即为乙小给甲小3台，要使电脑移动的总台数最小，应作怎样安排？ ? 析解：如图，用A、B、C、D、E分别表示这五所小学的位置，并设A向B调台电脑，B向C调台电脑，…，E向A调台电脑，依题意有：7+－＝11+－＝3+－＝14+－＝15+－＝50÷5＝10，所以，＝－3，＝－2，＝－9，＝－5，设调动的电脑的总台数为y,则y＝||+|－3|+|－2|+|－9|+|－5|，这样，这个实际问题就转化为求y的最小值问题，仿例1的分析，并由上面所得结论知：当＝＝3时，y的最小值为|3|+|3－3|+|3－2|+|3－9|+|3－5|＝12，即调动的总台数为12．因为＝3时，＝0，＝1，＝－6，＝－2，故一小就向二小调3台电脑，二小不调出，三小向四小调一台电脑，五小向四小调6台电脑，一小向五小调2台电脑．