2.3复合函数求导法.doc

第2章 导数与微分 导数和微分在自然科学、工程技术、社会科学等各方面有着极为广泛的应用. 为了准确描述曲线的切线和质点运动的速度这一类有关变化率的问题，就很自然地、不可避免地要求在数学上引入导数和微分的概念. 只有在运用了这两个概念之后，才能将这些问题精确地解答出来. 而这两个概念实质上是由极限概念得到的. 本章我们将从这两个具体问题入手，引出导数和微分的概念，进而讨论导数和微分的各种运算法则以及有关的性质. 2.1　导数的概念 2.1.1 引例 例1　非匀速直线运动的速度问题. 设质点做非匀速直线运动，其位移是时间的函数，求时刻的瞬时速度. 由物理学知，质点做匀速直线运动时，可由来求质点的运动速度. 而当质点做非匀速直线运动时，就不能简单地用来描述质点运动的速度了. 此时，在时刻取时间的增量，从到这一段时间间隔内，质点运动的距离为，于是在这个时间间隔内质点运动的平均速度为 显然，当越小时，这个平均速度越接近时刻的瞬时速度. 因此，当时，平均速度的极限就可用来准确描述时刻的瞬时速度了. 设，对上式取极限，若此极限存在，则可得质点在时刻的瞬时速度为 (2-1-1) 例2　曲线的切线问题. 设有平面曲线，求其上一点处切线的斜率. 如图2.1所示，在曲线上取一点，并在其邻近取曲线上的另一点，则易知，割线的斜率为，当点沿曲线趋近于时，割线将趋近于曲线在点的切线. 也就是说，曲线在点的切线实际上就是点沿曲线趋近于点时割线的极限位置. 因此，曲线在点的切线斜率为 (2-1-2) 上述这两个例子的意义各不相同，但是它们的数学表达形式完全相同. 如果抛开它们所代表的具体意义(瞬时速度和切线斜率)，则式(2-1-1)和式(2-1-2)所代表的数学意义完全相同，它们的共同实质都是求函数在一点的变化率，即当自变量的增量趋近于零时，求函数的增量与自变量的增量比值的极限. 在自然科学和工程技术中，还有许多问题的解决，如电流强度、角速度、线密度等，都归结为求函数的增量与自变量增量比的极限. 我们抛开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的实质，就可引出导数的概念. 图2.1 2.1.2 导数的概念 定义1　设函数在点的某一邻域上有定义，当自变量在点处取得一增量(，且仍在该邻域内)时，相应地，函数也有增量 如果极限 (2-1-3) 存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为函数在点处的导数，记作，或，即 也可以写成 或 实际上，就是函数在点的变化率，它反映了函数在点处相对自变量变化的快慢程度. 如果式(2-1-3)中的极限不存在，则称函数在点处不可导. 如果该极限为无穷大，那么导数也是不存在的，但有时为了方便，也称函数在点处的导数为无 穷大. 例3　求函数在处的导数. 解　 若对于区间内的每一个，函数都可导，则称函数在区间内可导. 此时对应于内的每一个值都有一个导数值与之对应，这样便得到了一个新的函数，此函数称为函数的导函数，简称导数，记为，或. 即 或 在以上引入导数概念的过程中，已经明确了导数的意义，现归纳如下. (1) 导数的物理意义是质点做非匀速直线运动时的瞬时速度. 若将路程写成时间的函数，则任意时刻的速度为 (2) 导数的几何意义是曲线在一点处切线的斜率. 即曲线在点的切线斜率为 (3) 导数在数学上表示的是变化率. 设函数，则在点处的导数反映了函数相对自变量变化的“快慢”程度，即变化率. 下面根据导数的定义来求一些简单函数的导数. 例4　求常数函数的导数. 解　由于恒等于常数，于是对于任意的，都有，因此 即常数的导数恒等于零. 例5　求幂函数的导数. 解　由导数的定义 当时，是无穷小量，而由1.4节知，与是等价无穷小. 于是， 即幂函数的求导公式为 用此公式可以很方便地求出幂函数的导数. 如：  例6　求正弦函数的导数. 解　根据导数的定义 即正弦函数的导数是余弦函数 类似地，可以证明，余弦函数的导数是正弦函数的负值，即 例7　求对数函数的导数. 解 根据导数的定义 即对数函数的求导公式为 特别地，当时，自然对数的求导公式为 例8　求指数函数的导数. 解　根据导数的定义 当时，是无穷小量，而由1.4节知，与是等价无穷小. 于是 即指数函数的求导公式为 特别地，以为底的指数函数的求导公式为 以上给出了几个基本初等函数的求导公式，其他一些基本初等函数的导数将在以后陆续介绍. 例9　求三次曲线在点(2,8)处的切线斜率及切线、法线方程.