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基础诊断 考点突破 课堂总结 第1讲　导数的概念及运算 1.导数的概念 可导 导数 f ′(x0) 知 识 梳 理 切线斜率 y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0) 2.基本初等函数的导数公式 αxα－1 cos x －sin x axln a ex 3.导数的运算法则 f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 4.复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ ，即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积. yu′·ux′ y对u u对x 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( ) (2)曲线y＝f(x)上某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义相同.( ) (3)已知曲线y＝x3，则过点P(1，1)的切线有两条.( ) × × √ × 2.已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为________. 解析　∵f′(x)＝2ax，∴f′(1)＝2a＝2， ∴a＝1. 答案　1 3.(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________. 解析　f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2. (1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1). 将(2，7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)，解得a＝1. 答案　1 4.(苏教版选修2－2P20T4改编)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b的值等于______. 答案　1 答案　x＋πy－π＝0 考点一　导数的运算 【例1】 (1)(2015·天津卷)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)＝3，则a的值为________. 答案　3 (2)求下列函数的导数： 规律方法　求函数导数的一般原则如下：(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导；(2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导；(3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.(4)遇到三角恒等式，先变形化简再求导.(5)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元. 【训练1】 求下列函数的导数： 解　(1)法一　∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11. 法二　y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝3x2＋12x＋11. 考点二　导数的几何意义 [微题型1]　求切线方程 【例2－1】 (1)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________. (2)(2016·南通调研)经过原点(0，0)作函数f(x)＝x3＋3x2的图象的切线，则切线方程为________. 答案　(1)5x＋y＋2＝0　(2)y＝0或9x＋4y＝0 规律方法　求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解. 【训练2－1】 (1)(2015·淮安一检)已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1，2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________. (2)(2016·洛阳模拟)函数f(x)＝exsin x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为________. [微题型2]　求参数值(或范围) 【例2－2】 (1)(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________. (2)(2016·盐城调研)已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，则实数m的取值范围为________. 规律方法　当函数中含有参数时，可用参数表示出斜率和切线方程，再根据条件求参数. 【训练2－2】 (2016·石家庄一模)设过曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g(x)＝ax＋2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为________.