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§3 二次曲线的切线和奇点 一 切线： 1、定义：若一直线l与二次曲线C交于二重合实点，或l整个在二次曲线C上，则称l 为C的切线。切线与C的公共点称为切点。 2、求法： 设（，）∈C，以为切点的切线 l： 今确定X：Y 1°当（，），（，）不全为0时， 若X：Y不是渐近方向，则l与C相切〈═〉l与C交于二重合实点 〈═〉△=[（，）X+（，）Y]2-Φ（，）=0 〈═〉（，）X+（，）Y=0〈═〉X：Y=-（，）：（，） 若X：Y是渐近方向，则l与C相切〈═〉l处在C上〈═〉 （，）X+（，）Y=0〈═〉X：Y=-（，）：（，） 从而切线l： 即 （，）（x-）+（，）（y-）=0 （，）x+（，）y-[（，）+（，）]=0 （，）x+（，）y+（，）=0 亦即 x+（y+x）+y+（x+）+（y+）+=0 （*） 注：在（，）与（，）不全为0时，（*）即为以（，）为切点的切线方程。不难看出，若（，）使（，），（，）不全为0，则要求以为切点的切线，只需要在C的方程中，以 x ， ，y ， ， 替换x2 xy y2 x y 即可 2°当（，）=（，）=0时， 对过且沿非渐近方向的直线l： ， △=[（，）X+（，）Y]2-Φ（，）=0 ∴l是切线；而对任意过且沿渐近方向的直线l： Φ（X，Y）=（，）X+（，）Y=F（，）=0， ∴l整个在曲线 即l也是切线 可见，若曲线C上一点（，）使（，y。）=（，）=0，则过的任一直线均是C的切线。为使得过C上任一点只有唯一切线，在这种情形下，通常只取过且沿渐近方向的直线作为C的切线。 二 奇点： 1、定义：二次曲线上坐标满足的点称为奇点。二次曲线上的非奇点又称为正常点。 可见： 1°一点（，）为奇点〈═〉〈═〉 2°奇点必是中心，但中心未必是奇点，从而无心曲线没有奇点。 3°在奇点处，曲线有沿渐近方向的切线；而在正常点处，曲线有沿 X：Y=-（，）：（，）的切线，从而在正常点处，切线是唯一的 2、性质： 1°二次曲线有奇点的必要条件是=0 事实上，若二次曲线有奇点（，），则 ∴方程组 有非0解（，，1） ∴=0 思考：=0是否为二次曲线有奇点的充分条件？为什么？ 2°二次曲线有奇点的充要条件是其为有心二次曲线，其中心全在二次曲线上， 事实上“〈═”显然 “═〉”设二次曲线F（x，y）=0有奇点。 若曲线为中心二次曲线，则这唯一中心也是奇点 ∴中心在曲线上； 若曲线为线心曲线，因它有奇点 ∴方程组 有解 同解 同解 有解 而：=： ∴ ：=: ：=：=： x+y+=0 ∴中心全是奇点，从而所有中心都在曲线上。 例：求二次曲线y2-4x-4y=0的切线l （i）l过点（3，-2）； （ii）l过点（-1，0）。 解：（i）易验证点（3，-2）在曲线上，且该曲线上无奇点，∴切线方程为 -2y-2（y-2）-2（x+3）=0 即 x+2y+1=0 （ii）易验证（-1，0）不在曲线上， 法一：设过（-1，0）的切线l与曲线切于（，） 则 l：y-2（y+）-2（x+）=0 而（-1，0）∈l ∴-2-2（-1）=0 即 +-1=0 又 2-4-4=0 ∴=-1，3 =2，-2 ∴切线l：2y-2（y+2）-2（x-1）=0 或-2y-2（y-2）-2（x+3）=0 即 x+1=0或x+2y+1=0 法二： 设过（-1，0）饿切线l： 则 △=[（-1，0）X+（-1，0）Y]2-Φ