为下面系统扎一个平衡点，并确定稳定性，指出稳定性是否为渐进-Read.docVIP

分 数: ___________ 任课教师签字：___________ 华北电力大学研究生结课作业 学 年 学 期：2007-2008学年第一学期 课 程 名 称：非线性系统分析与控制? 学 号：1072202022 提 交 时 间：2008-1-13 1. 近似线性化局限性的例题分析 关于稳定的平衡点 ，近似线性化系统及其解可描述为： 原系统的解： 结论分析： 系统收敛于由线性模型确定的稳定的平衡点； 系统快速地发散（有限时间逃逸问题）。 仿真实验如图所示： 左图为 时的曲线（有限时间逃逸问题）； 右图为 时的曲线，系统收敛于由线性模型确定的稳定的平衡点。 2. 描述范德堡方程的二阶微分方程（质量-弹簧-阻尼器系统）为： （ 、 和 为正常数，分析该系统的特点），非线性系统的极限环不同于线性系统的临界稳定或持续振荡。极限环代表了非线性系统的一种重要现象，分有害和有益两种情况，应分别对待。采用搭接Simulink 结构图的方法和编写m函数的方法分别对其进行仿真实验。 方法一：Simulink 结构图（系统初始值设为（1，1）） 实验结果为： 方法二：编写m函数。实验结果为：系统从（1，1）出发形成极限环。 所以非线性系统最终形成了振幅为2的等幅振荡，产生了极限环。 3. 分析下面非线性系统 在初值分别为 和 时的特征。 编写m函数。黑线为前组数据，红虚线为后组数据。实验结果为： 可见混沌对初始条件非常敏感，即初始条件的微小差别常常使轨道按指数形式分开（蝴蝶效应）。 4. 证明下面单摆的平衡状态（ ）是不稳定的。 其中 R 为单摆长度，M为单摆质量，b为铰链的摩擦系数，g为重力常数。 在 的邻域内 设 ，那么系统在平衡点附近的线性化结果为： 因此，线性近似是不稳定的，所以非线性系统在平衡点也是不稳定的。 仿真结果如下图所示：可见 的初始条件最终还是要趋于 5. 为下面系统找一个平衡点，并确定稳定性，指出稳定性是否为渐近的以及是否为全局的？ （1） （2） 解：（1），x=0; 平衡点（0，0），线性化结果为：，不能由线性化说明系统稳定性性质。 （2），x=5,平衡点（5，0），线性化结果为 ，不能由线性化说明系统稳定性性质。 下面对系统做一下仿真实验。 仿真实验框图如下所示： 对于第一题来说，当 时， 的曲线如下： 对于第二题来说，当 时， 的曲线如下： 由仿真实验可以看出，上述两个非线性系统在各自的平衡点附近的某个局部区域是渐进稳定的。但是无法通过线性化的方法说明系统在平衡点处稳定性的特点。 研究非线性系统 在它的以原点为平衡点处附近的稳定性，给正定函数， 对于，由定义的区域是有界的。集合 R 只是原点0，它是一个不变集。局部不变集定理的所有条件都满足，因而任何起始于这个圆内的轨线都收敛于原点。由仿真实验可以得出上述结论，当时： 吸引极限环，考察系统 由于定义的集合是不变的，因为在这个集合中 为0。在不变集的运动由下面方程之一等价的描述 因此，可以看到不变集实际上代表一个极限环。 对上述系统做仿真实验可以证实结论，当时： 已知 ，其中和是可测量的状态， m=1.5 b=2，跟踪目标是，其中 可能的控制器设计方案之一： a和k为控制器增益，r为复合误差 证明定理：控制器在以下函数下提供一个全局稳定的跟踪 解：取函数 求导得出：，因为 所以， 代入求出： 又因为：；； 所以 又因为 ，代入上式 求得： 因为： 代入上式，求得 所以 又有 所以 解得 因为 ； 求解方程，即得： 定理证毕。根据分析，对上述系统做仿真实验。 仿真图及运行结果如下图所示 误差曲线和跟踪曲线如下图所示。 可以看出，两条曲线跟踪的效果非常好，基本上已经重合了。 考查系统 式中 (i=1,2,3)为正定对称矩阵。均为n维向量，证明系统是全局渐进稳定的，且0是系统的唯一平衡点。 证明：设 所以 ，所以，故系统的平衡点是（0，0），其中0为向量。 下面证明系统是全局