单调性与极.ppt

* 复习 1 、 某点处导数的定义—— 这一点处的导数即为这一点处切线的斜率 2 、 某点处导数的几何意义—— 3 、 导函数的定义—— 4、由定义求导数的步骤（三步法） 5、 求导的公式与法则—— 如果函数 f(x)、g(x) 有导数，那么 6、 求导的方法—— 定义法 公式法 练习： 1、求下列函数的导数 （1）y=（x2-3x+2）（x4+x2-1） （2）y=（x/2+t）2 2、设f（x）=ax3-bx2+cx，且f `（0）=0， f `（1）=1，f `（2）=8，求a、b、c 3、抛物线f（x）=x2-2x+4在哪一点处的切线平行于x轴？在哪一处的切线与x轴的交角为450？ 引例、 已知函数y=2x3-6x2+7, 求证：这个函数在区间(0,2)上是单调递增的. （1）任取x1x2 ( 2 ) 作差f（x1）-f（x2）并变形 （3）判断符号 （4）下结论 用定义法判断函数单调性的步骤： 引入： 函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况, 而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系 于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？ 若函数在区间(a,b)内单调递增，我们发现在（a，b）上切线的斜率为正，即 在（a，b）内的每一点处的导数值为正 若函数在区间(a,b)内单调递减，发现在（a，b）上切线的斜率为负，即在(a,b)内的每一点处的导数值为负， 分析：从图形看 设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y`0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y`0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数. 判断函数单调性的常用方法： （1）定义法 （2）导数法 结论： y`0 增函数 y`0 减函数 例1、确定函数y=2x3-6x2+7的单调区间 用导数法确定函数的单调性时的步骤是： （1）求出函数的导函数 （2）求解不等式f `(x)0，求得其解集， 再根据解集写出单调递增区间 （3）求解不等式f``(x)0，求得其解集， 再根据解集写出单调递减区间 注、单调区间不 以“并集”出现。 导数的应用一、判断单调性、求单调区间 练习1、 确定y=2x3-6x2+7的单调区间 练习2、求y=3x-x3的单调区间 引例：确定y=2x3-6x2+7的单调区间 一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。 极大值与极小值统称为极值. 函数极值的定义—— 如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f’(x)0，在x0右侧附近f’(x)0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值. 导数的应用二、求函数的极值 如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的 左侧附近f’(x)0，在x0右侧附近f’(x)0， 那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值 (1)??? 求导函数f `(x)； (2)??? 求解方程f `(x)=0； (3)??? 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与极小值. 口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。 用导数法求解函数极值的步骤： 例1 、求函数y=x3/3-4x+4极值. 练:(1)y=x2-7x+6 (2)y=-2x2+5x (3)y=x3-27x (4)y=3x2-x3 表格法 注、极值点是导数值为0的点 导数的应用之三、求函数最值. 在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题. (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤： (1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值) 表格法 一是利用函数性质 二是利用不等式 三是利用导数 注： 求函数最值的一般方法： 例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值