四、保角变换,曲线坐标中的复势、应力和位移.docVIP

第章 是解析函数，并且，我们利用关系式 (4.1) 所作的变换即为保角变换。通过保角变换，总可以把z平面上形状复杂而不易求解的单连域S(边界为L), 通过一个正则函数，映射为平面（数学平面）上的另一条形状较为简单的曲线，从而使问题的求解变得简便和可能。 设, 。在平面上每给定一点，平面上必有一点跟它相对应。这样，在平面上每给定一根曲线, 平面必有一根对应的曲线(图4.1)。在相应的两曲线上各截取相应的一小段()和(), 则有 (4.2) 图4.1 其中和分别为和的辐角的主值。由(4.1）, 有 (4.3) 由(4.2）, (4.4) 式中 , 可以看出, J和的物理意义分别如下：J是保角变换时，z平面上微元线段变换为平面上线段的尺寸放大(或缩小)系数；而是表示z平面上微元线段变换到平面上微元线段时旋转的角度。J和?皆是点的函数，即与有关。但等于指定点, J和?是完全确定的。显然?即为曲线const的切线(向着增加的方向)与z平面x轴之间的夹角(此时)，而曲线const的切线(向着增加的方向)与z平面x轴之间的夹角为。同时对于const和const上的微元线段和有 这样便建立了对应于z平面上各点的曲线坐标。 由(4.4)得到， 因此 (4.5) 利用局部坐标变换，得到曲线坐标中各应力分量与直角坐标中应力分量的关系， (4.6) §4.2无限大平板中椭圆孔受均布作用力的问题 4.2.1 椭圆坐标系 具有椭圆孔的无限域的问题由Stevenson(1945)在椭圆坐标系中解得。应用椭圆坐标系，定义为 则 由此得出 (a) 坐标为常数，令表示直角坐标系中的椭圆孔。椭圆孔的方程为 或写成参数方程为 ， 若椭圆的半径给出为a和b, 则应有 ， (b) 可以求得和c。当逐渐变大时，以为参数所表示的椭圆也逐渐变大。当时所代表的是无限大的椭圆。当参变量从x轴正向由零到时, 任一椭圆上一点就绕椭圆一周(此时=const). 根据式(a), 任意给定一对参数和，在平面中就对应一个点，因此也称、为平面上点的椭圆坐标，分别相当于极坐标中的和。位移和应力分量的连续性要求这些分量在方向是周期性的，周期为，使当和时，这些分量有相同的值。因此可能选取下列形式的复应力函数 (c) 其中n为整数。另外，函数也适合单值条件，因此也可以作为复应力函数。 4.2.2无限大平板中椭圆孔受单向拉伸问题 无限大平板中椭圆孔，受远场均匀拉力p2作用，椭圆的长短轴各为2a和2b, p2与x轴夹角为 (图5.7.3)。该问题由Inglis(1913)推导了各种条件的应力和位移。 设坐标系ox’y’是将坐标系转动角使其与拉力p2平行的直角坐标系，于是由坐标变换， 边界条件为，在无穷远处 因此，在无穷远处 ， (a) 为了和有关文献在表达上一致，这里取, 柯洛索夫公式成为 (4.7) 由(4.5）, 其中 (4.8) 将(a)式代入(4.7)得当时， ， 在椭圆孔边界上，即时应有 取 (4.9) 可以验证满足所有边界条件。可以由(4.7)中的第三式求出相应的位移，并且位移是单值的。 由(4.7)求出孔边的应力为 (4.10) 当时，拉力作用方向和椭圆长轴方向垂直，上式可写为 (4.11) 当或时，，即在椭圆的长轴两端处，代入， (4.12) 当即椭圆孔变得越来越细长时，应力也逐渐变大。当时，椭圆变成一条直裂纹，，在第五章中将继续讨论。而当(即圆孔的情形)， 。 在椭圆的短轴两端处，, , (4.13) 当时，拉力作用方向和椭圆