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（2013.6.28） 「流体力学」講義資料（第５章(２)） ５．５．ポテンシャル流れ ポテンシャル流れ(potential flow)：理想流体のうずなし流れ。 理想流体は非粘性であるため剪断応力は働かず、うず度は一定に保たれる。 したがって、流れの上流で渦度がゼロである場合、流れ場全域でうず 度がゼロとなる。このような流れをうずなし流れ(irrotational flow)という。 ポテンシャル流れでは、数学的な取り扱いが極めて容易になる。 ５．５．１．ポテンシャル流れの支配方程式 ポテンシャル流れの支配方程式 （１）うずなしの条件 （５．３０） ベクトル表記では 　または　 （５．３０’） ここで、rotおよびcurlはベクトルの回転(rotation, curl)，vは速度ベクトル (u, v, w)である。一般に、ベクトルA=(Ax, Ay, Az)に対して、 （２）連続の条件（連続方程式） （５．３１） ここで、divはベクトルの発散(divergence)である。一般に、ベクトルAに 対して、 これらの２つの条件を満足する流れがポテンシャル流れである。しかし、 ポテンシャル流れを解析するには式（５．３０）や式（５．３１）を直接 解くことはせず、速度ポテンシャルや流れ関数、あるいは複素ポテンシャ ルなどを用いて解くことが多い。 ５．５．２．速度ポテンシャル 速度ポテンシャル(velocity potential)：速度ベクトルvに対し、次の関係式を 　満足する関数φ(x, y, z, t) 。 （５．３２） ベクトル表記では （５．３２’） ここで、gradは勾配(gradient)である。一般に、スカラfに対して、 　式（５．３２）をうずなしの条件式（５．３０）に代入すると、 （５．３３） となり、うずなしの条件が満足される。逆に、速度ポテンシャルφは、う ずなしの流れにおいてのみ式（５．３２）で定義できる。 ラプラス方程式 　次に、式（５．３２）を連続の条件式（５．３１）に代入すると （５．３４） ベクトル表記では （５．３４’） ここで、であり、式（５．３４）をφに関するラプラス(Laplace)方程式という。 速度ポテンシャルφを未知関数として解析する時は、式（５．３４）を用いればよい。 ポテンシャル流れの例 図５.６はポテンシャル流れの例として、円柱まわりの二次元ポテンシャル流れの速度ポテンシャルφ(x, y)を立体的に表示したものである。流れは、(ｂ)図の斜面の勾配に比例した速度でポテンシャルの低い方から高い方へと流れる。 ５．５．３．流れ関数（二次元ポテンシャル流れ） 流れ関数(stream function)：速度ベクトルvに対し、次の関係式を満足する 　関数ψ(x, y, t)。（二次元ポテンシャル流れ） （５．３５） 式（５．３５）を連続の条件式（５．３１）に代入すると （５．３６） となり、式（５．３５）で流れ関数が定義される二次元ポテンシャル流れは連続の条件を満足する。 　一方、式（５．３５）をうずなしの条件式（５．３０）に代入すると （５．３７） ベクトル表記（二次元）では （５．３７’） となり、２次元流れにおけるψに関するラプラス方程式になる。流れ関数ψを未知関数として解析する時は、式（５．３７）を用いればよい。 流れ関数と流線 　流線を表す式（２．４）は、二次元流れでは （５．３８） これを変形すると、 （５．３９） これに式（５．３５）を代入すると、 （５．４０） 式（５．４０）の左辺はψの全微分dψであり、流線は流れ関数ψの全微分dψ=0、したがってψ=const. である線であることがわかる。 流れ関数と流量 図５.７の２つの流線の間の流量Qは、線分AB上で次式により求められる。ただし、Qはz方向には単位厚さ（厚さ１）あたりの流量とする。 （５．４１） これに式（５．３５）を代入すると （５．４２） したがって、２つの流線の間の流量は両者の流れ関数の差に等しい。 このように、流れ関数には多くの利点があるが、通常は二次元非圧縮流れ（粘性，非粘性）という制約がある。  流れ関数の例 図５.８は円柱まわりの二次元ポテンシャル流れの流れ関数ψ(x, y)を立体的に示したものである。流線は流れ関数が一定の線であるから、流体は等高線に沿っ