教育部八十六年度高级中学数学及自然学科竞赛物理科决赛.docVIP

教育部九十一學年度高級中學數學及自然學科競賽物理科決賽 筆試試題（二） 編號： . 說明：（1）請先核對答案卷上之編號和你的編號是否一致。 （2）本試題卷共五大題，請依題號在答案卷上指定位置作答，試題卷需隨答案卷繳回。 【第一題】（30分） 如下圖所示，一固定不動的倒立空心圓錐，其中心軸沿鉛直方向，張角為2θ，內部為光滑表面。有一條質量可忽略、長度不變的細繩，穿過位於錐尖O的小洞，與兩個質量均為m的質點連接。已知重力加速度為g。 若上端的質點在圓錐內部的表面，以角速度ω作水平的圓周運動，但鉛直懸吊於細繩下端的質點靜止不動，則圓的半徑為何﹖ 承(1)小題，沿鉛直方向輕拉下端的質點後放開，使質點出現小振幅的上下振盪，試求此振盪運動的週期。 註：(a) 一函數f(r)若在某一區間內部一點出現極小值，則此函數的微分在c點須為零。 (b) 若 (k、n為任意常數)，則。 【第二題】（30分） 一質量為m、半徑為R的圓環開始時以角速度(o繞其中心軸轉動，然後將此環置於一水平長桌面上如下圖，求 圓環在桌面上不再滑動時之速度與角速度。 此時圓環之動能為若干？ 【第三題】（30分） 如下圖的汽缸有、兩室，置於270C、1大氣壓的大氣中，、兩室各有閥門可供開關，室則與大氣連通，巳知、兩室的截面積之比為1比4，兩者之間以一無摩擦、可左右移動的活塞相連接，開始時先將、兩室的閥門都打開，然後將室的閥門關閉，再從室的閥門徐徐灌入5大氣壓的大氣，之後即將室的閥門也關閉。若假設大氣為理想氣體，且在進氣中汽缸溫度不變。 試問室的閥門關閉後，室中的氣體壓力為何？ 假如室的閥門關閉後，再將整個汽缸的溫度提高為870C，試問活塞會不會移動？向那方向移動？均須說明理由。 【第四題】（30分） (a) 如下圖所示，一U形管內裝有質量M密度ρ之水，管之截面積為A。如將U形管其中一邊之水面下壓，然後釋放，求其振盪之週期與A、M、ρ之關係。（設其他之摩擦係數不計） (b) 如M=2.0Kg，A=10cm2，求週期T。 如下圖所示，若將此U形管繞OP軸以ω角速度旋轉。 如，U形管兩邊何者液面較高？ 求此U形管兩邊液面之高度差？ （公式：） 【第五題】（30分） 一質量為m的質點在水平方向上作簡諧振動，其軌跡方程式為 式中A為振幅。寫出該質點的動能、位能、和力學能。 (2) 有一條張緊的長繩放在光滑的水平桌面上，繩子的線性密度為（即繩子每單位長度的質量）。現考慮有一波長為λ，角頻率為，往+x方向前進的正弦波持續地在繩上傳播，繩子可視為由許多質點相連而成。當波動通過某一質點時，該質點在原處附近作簡諧振動，若該質點的坐標為x，則其位移和時間的關係式可寫為 式中。 (a)寫出該質點的力學能。 (b)若在該長繩上取一長度為L的繩段，則該段繩子的總力學能為何？ (3) 下圖所示為一產生駐波的實驗裝置，左端為一作簡諧振動的簧片，簧片上連接繩子，繞過一光滑的滑輪，下懸一重物，使繩子張緊。若簧片和滑輪之間的繩段長度為L，調整簧片的振動頻率，則可在繩上產生駐波。 (a) 若重物的質量為M，則欲在繩上產生n個駐波的波環，則簧片的振動角頻率應為何？（繩子的線性密度為。） (b) 繩上的駐波是兩個反向前進的同頻正弦波所組成，往+x和 –x方向前進的正弦波，可分別表示為和。繩段L的兩端，即x = 0和x = L，為波節。試求上式中的A和B有何關係？設繩上某質點的位置坐標為x，求出該點的位移的函數式。 (c) 承上題，試求該質點的力學能。 (d) 試求在繩段L上所生駐波的總能量。 【註】下列的積分式也許有用： 4 第4之3頁 A ? x = L ? O m m M ρ ω P O x = 0 L A M ρ