数学物理方程总结描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式.docVIP

数学物理方程总结 描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式，特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的数学描述都是偏微分方程，例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程就是所谓的数学物理方程。当然，几何学中的很多问题也是可以用偏微分方程来描述的。 人们对偏微分方程的研究，从微分学产生后不久就开始了。例如，18世纪初期及对弦线的横向振动研究，其后，对热传导理论的研究，以及和对流体力学、对位函数的研究，都获得相应的数学物理方程信其有效的解法。到19世纪中叶，进一步从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分的一般理论，如方程的分类、特征理论等，这便是经典的偏微分方程理论的范畴。 然而到了20世纪随着科学技术的不断发展，在科学实践中提出了数学物理方程的新问题，电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。又因为数学的其他分支（如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等）也有了迅速发展，为深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而，20世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的发展，这些发展呈如下特点和趋势： 一、在许多自然科学及工程技术中提出的问题的数学描述大多是非线性偏微分方程，即使一些线性偏微分方程作近似处理的问题，由于研究的深入，也必须重新考虑非线性效应。对非线性偏微分方程研究，难度大得多，然而对线性偏微分方程的已有结果，将提供很多有益的启示。 二、实践中的是由很多因素联合作用和相互影响的。所以其数学模型多是非线性偏微分方程组。如反应扩散方程组，流体力学方程组电磁流体力学方程组，辐射流体方程组等，在数学上称双曲－抛物方程组。 三、数学物理方程不再只是描述物理学、力学等工程过程的数学形式。而目前在化学、生物学、医学、农业、环保领域，甚至在经济等社会科学住房领域都不断提出一些非常重要的偏微分方程。 四、一个实际模型的数学描述，除了描述过程的方程（或方程）外，还应有定解条件（如初始条件及边值条件）。传统的描述，这些条件是线性的，逐点表示的。而现在提出的很多定解条件是非线性的，特别是非局部的。对非局部边值问题的研究是一个新的非常有意义的领域。 五、与数学其他分支的关系。例如几何学中提出了很多重要的非线性偏微分方程，如极小曲面方程，调和映照方程，方程等等。泛函分析、拓扑学及群论等现代工具在偏微分方程的理论研究中被广泛应用，例如空间为研究线性信非线性偏微分方程提供了强有力的框架和工具。广义函数的应用使得经典的线性微分方程理论更系统完善。再就是计算机的广泛应用，计算方法的快速发展，特别是有限元广泛　的应用，使得对偏微分方程的研究得以在实践中实现和检验。 用数学方法处理应用问题时，首先是要建立合理的数学模型，而很多情况下这种模型是偏微分方程。一个模型的建立是一个相当复杂的过程。 迁移方程导出数学物理方程 一般迁移方程 　在解决物理方程、力学及工程技术等实际问题的过程中，有许多被考查的不停地在空间进行传递和迁移，如流体的质量、能量、物体的热量等等。一般地，我们统称这些量为被迁移量。被迁移量与其所在的空间的位置与时间是有关的，我们引入被迁移量密度，为时刻，点处的被迁移量，取包含点的区域上在时刻的被迁移量的总和除以该区域之体积为在时刻该区域上的平均被迁移量。当区域无限收缩为点时，上述平均被迁移量之极限就为迁移量密度。设为空间一有界区域，为其边界，在上的被迁移量密度为，则在时刻，中的总迁移量为。被迁移量对于空间一曲面而言是穿过曲面而被迁移的。因此，垂直穿过曲面的被迁移量便是被迁移量相对该曲面的通量，如磁场中穿过曲面的磁力线称为磁通量，电场中有穿过曲面的电场时等等。同样，我们设时刻在处的被迁移量的通量密度为，即在被时刻，于处单位时间穿过单位面积曲面的被迁移量，因为被迁移量是按一定方向穿过曲面的，所以是一向量场，其方向为被迁移量移动的方向。于是，在时刻流出空间区域的被迁移量为，式中为曲面的单位外法向量，为面积微元。然而在某些实际物理过程中，所考查的被迁移量有时是在物体中不断产生的，即有被迁移量的生成源。令为被迁移量的源密度，即时刻在处生成的被迁移量，则在时刻，区域内生成的被迁移量为。 很显然，在时刻，区域内被迁移量总和的增长（它为被迁移量总和关于时间变元的导数）等于在时刻，区域内生成的和流进的被迁移量的和。所以，我们有如下迁移方程（或称被迁移量守恒方程）： 　（1） 在一般情况下，是连续可微的向量场，则可应用定理，得 ， 其中为算子，若向量场，则。 将上式代入（1）式，由于的任意性，所以，迁移方程（1）又可以表示为微分形式 　（2） 上面只是一般地描述被迁移量的迁移方程，并没有具体地指方程导出相应的数学物理方程或方程组。 基本方程的建立 弦振动问题 在弦线上截取一段，弦的线密度为，为作用在弦上且与弦线运动