李雅普诺夫稳定性定理的直观意义-Read.ppt

李雅普诺夫第一法(1/7) 李雅普诺夫第一法(2/7) 李雅普诺夫第一法(5/7) 李雅普诺夫第一法(6/7) 李雅普诺夫第一法(7/7)—例5-1 李雅普诺夫第一法(8/7) 李雅普诺夫第二法(1/3) 李雅普诺夫第二法(2/3) 李雅普诺夫第二法(3/3) 数学预备知识(1/1) 实函数的正定性(1/4)—函数定号性定义 实函数的正定性(2/4)—函数定号性定义 实函数的正定性(3/4)—函数定号性定义 实函数的正定性(4/4) 5) 不定函数 二次型函数和对称矩阵的正定性(1/4) 二次型函数和对称矩阵的正定性(2/4) 二次型函数和对称矩阵的正定性(3/4) 二次型函数与一般函数一样,具有正定、负定、非负定、非正定和不定等定号性概念。 二次型函数V(x)和它的对称权矩阵P是一一对应的。 因此,由二次型函数的正定性同样可定义对称矩阵P的正定性。 定义3-8 设对称矩阵P为二次型函数V(x)的权矩阵,当V(x)分别为正定、负定、非负定、非正定与不定时,则称对称矩阵P相应为正定、负定、非负定、非正定与不定。 □ 二次型函数和对称矩阵的正定性(4/4)--矩阵定号性定义 因此,由上述定义就可将判别二次型函数的正定性转换成为判别对称矩阵的正定性。 对称矩阵P为正定、负定、非负定与非正定时,并可分别记为 P0, P0, P≥0, P≤0。 矩阵正定性的判别方法(1/5) (3) 矩阵正定性的判别方法 判别矩阵的正定性(定号性)的方法主要有 塞尔维斯特判别法、 矩阵特征值判别法和 合同变换法。 下面分别介绍。 矩阵正定性的判别方法(2/5)--塞尔维斯特定理 定理3-1(塞尔维斯特定理) (1) 实对称矩阵P为正定的充要条件是P的各阶顺序主子式均大于零,即 矩阵正定性的判别方法(2/5)—矩阵定号性判定定理 定理3-2 实对称矩阵P为正定、负定、非负定与非正定的充分必要条件是P的所有特征值分别大于零、小于零、大于等于零与小于等于零; 实对称矩阵P为不定的充分必要条件是P的特征值有正有负。 □ 定理3-3 实对称矩阵P必定可经合同变换化成对角线矩阵,则P为正定、负定、非负定与非正定的充分必要条件是的所有对角线元素分别大于零、小于零、大于等于零与小于等于零; P为不定的充分必要条件是的对角线元素有正有负。 矩阵正定性的判别方法(3/5)—矩阵定号性判定定理 定理3-3中的合同变换是指对对称矩阵的同样序号的行和列同时作同样的初等变换。 上述三种判别实对称矩阵P的定号性的方法,各有千秋。但总的说来, 基于塞尔维斯特定理的方法计算量较大,若将该方法推广到判别非负定性和非正定性,则计算量成指数性地增加。 特征值判别法需求解高阶特征方程以获得特征值,计算较复杂,计算量也较大。 合同变换法对矩阵只作初等变换,计算简单,便于应用。 矩阵正定性的判别方法(4/5)—例5-2 例3-2 试用合同变换法判别下列实对称矩阵P的定号性: 矩阵正定性的判别方法(5/5)—例5-2 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(1/5) 2. 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义 从平衡态的定义可知,平衡态是使得系统静止不动(导数为零,即运动变化的趋势为零)的状态。 从能量的观点来说,静止不动即不存在运动变化所需要的能量,即变化所需的能量为零。 通过分析状态变化所反映的能量变化关系可以分析出状态的变迁或演变,可以分析出平衡态是否稳定或不稳定。 下面通过一刚体运动的能量变化来简介李雅普诺夫稳定性定理的直观意义。 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(2/5) 右图所示动力学系统的平衡态在一定范围内为渐近稳定的平衡态。 对该平衡态的邻域,可定义其能量(动能+势能)函数如下: 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(3/5) 因此,有 mx’’=-mg(cos?-fsin?) 因此,能量的变化趋势(导数)为 V’=mx’x’’+mgx’cos? =-mgx’(cos?-fsin?)+mgx’cos? =mgx’fsin? 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(4/5) 从直观物理意义的角度,也非常易于理解。 由于物体运动所受到的摩擦力作负功,由能量守恒定律可知,物体的能量将随物体运动减少, 即其导数(变化趋势)为负。 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(5/5) 再如右图所示的动力学系统,其平衡态在一定范围内为不稳定的平衡态。 对该平衡态的邻域,可定义其能量(动能+势能)函数如下: 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(6/5) 由牛顿第二定律可知,其运动满足如下方程: m