高中数学复习单元：空间中的直线与平面.DOC

單元：空間中的直線與平面 主題：空間概念 範例： 如圖,四角錐S－ABCD的底面是邊長為1的正方形,側稜垂直 於底面,並且求sin ∠ASD＝？ 類題： 1.如右圖中ABCD為正四面體, M為線段CD中點, 試問下列哪些敘述是正確的 (A)直線CD與平面ABM垂直 (B)向量AB與向量CD垂直 (C)∠AMB＞∠ADB (D)平面ACD與平面BCD的二面角(銳角)大於6 0 0 (E) 解答：ABCD 2. 如右圖中,ABCD－A’B’C’D’為立方體的八個頂點,試問下列哪些線段會與線段 共平面？ 解答：AE 主題：兩面角 範例 兩平面E , F交角4 5 0 ,其公共之稜為,在E上之△ABC中, △ABC在F上之投影為 類題： 1.如圖,四角錐A－BCDE的底面是邊長為2的正方形,側面為等腰三角形 求(1)平面ACB與平面ACD的夾角 (2)平面ABE與平面BCDE的夾角 解答：(1) 2.一正四面體的邊長為1 2,試求外接球半徑？內切球半徑？ 解答： 3.長方體中,互為歪斜線的稜線共有多多少對？ 解答：2 4 範例： 一個正立方體的八個頂點中有四個頂點,各頂點彼此間的距離都是1,則此正立方體的體積為？ 類題： 1.如右圖的正方體體種,已知其各邊長為a ,則△BCD的面積為？ 解答： 2.如圖,ABCD為四面體,已知垂直於平面BCD, 若平面ADB與平面ADC之夾角為θ , 則sinθ＝？ 解答：25 , sinθ＝ 主題：空間座標系 範例： 1.空間座標中,設Q(3,1,5),R(1,3,4),S(3,5,2) ,下列敘述何者為真？ (A)點Q對於x軸的對稱點座標為(3,1,-5) (B)點R到x軸的距離為5 (C)點S在yz平 面的正射影的座標為(3,0,2) (D)線段RS在xy平面上的正射影長為 (E)△QRS為 銳角三角形 2.空間有一線段,垂直投射到x y平面上的投影長為20 , 垂直投射到yz平面上的投影長為21 , 垂直投射到xz平面上的投影長為29 ,則此線段的長度為？ 類題： 1.在空間中,x,y,z座標皆為整數,且與原點的距離為的點,一共有多少個？ 解答：48 2.以之一正四面體,其中三個頂點作標分別為(0,0,0),(2,0,0),(1,1,)則第四點的座標為？ 解答： 3.設P點向三座標軸引垂線垂足均在各軸之正向部分,且到x ,y,z軸之距離順序為5 ,, 試求P點的座標為？ 解答：(5,4,3) 主題：空間向量 範例一： 1.已知空間三點A(1,2,3),B(2,4,5),C(3,4,3),若夾角為θ,則(1) sinθ＝？ (2)△ABC的面積為？ 2.空間中A , B , C , D ,已知,而之夾 角為60 0 ,則線段AD的長為？ 類題： 1.如圖,長方體ABCD－,已知,試求 ( 1 )△AC的面積 解答： ( 2 )的夾角θ ,求sin θ＝？ 解答： 2.有一長方體的長、寬、高分別為3、4、5 ,今置頂點A於座標系的原點( 0 , 0 , 0 ) , B置於 正z軸上,則頂點C之z座標為？ 解答： 3.如圖O－BCD為一金字塔,底是邊長為1之正方形,頂點O與A , B , C , D 的 距離均為2 ,試問下列哪些是正確的？ 解答：CD 4.如右圖,ABCD為正立方體的一面, P , Q分別為的中點,O為 正立方體的中心,則cos∠POQ＝？ 解答： 主題：平面方程式 範例： 求下列各條件的平面方程式 1.點P ( 2 , 1 , 3 )與點Q ( 4 , 4 , 5 ) ,則線段PQ之垂直平分面 2.直線L與平面E：x＋2 y＋3 z＝9垂直,則過點( 2 ,－3 , 4 )且與直線L垂直的平面F 3.包含A ( 1 , 1 , 3 ) , B (－2 , 1 , 1 )兩點且與平面E：x－2 y＋3 z＝6互相垂直之平 面. 4.與平面E：3 x＋2 y＋z＝1 1平行,且其x截距, y截距, z截距的和為2 2的平面F 類題： 1.求經過三點P(-1,1,2),Q(2,0,-3),R(5,1,-2)的平面方程式 解答：2x