高中数学核心概念的教学设计-福清一中.PPT

高中数学核心概念的教学研究 李祎 福建师范大学 目 录 一.数学概念教学的重要性 二.数学概念教学“教什么” 三.数学概念教学典型案例分析 一.数学概念教学的重要性 知名华人数学家、哈佛大学教授丘成桐兴冲冲地赶到杭州，去与一群刚在高考中取得好成绩的数学尖子见面。结果却让他颇为失望： “大多数学生对数学根本没有清晰的概念，对定理不甚了了，只是做习题的机器。这样的教育体系，难以培养出什么数学人才。” 李邦河院士：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！” 概念教学常常采用“一个定义，几项注意”的方式，以解题教学代替概念教学的做法，严重偏离了数学的正轨，必须纠正． 否则，学生在数学上耗费大量时间、精力，结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少，“数学育人”终将落空． 数学是用概念思维的，在概念学习中养成的思维方式，其迁移能力也最强． 数学概念教学的意义，不仅在于使学生掌握“书本知识”，更重要的是让他们从中体验数学家概括数学概念的心路历程，领悟数学家用数学的观点看待和认识世界的思想真谛，学会用概念思维，进而发展智力和培养能力。 二.数学概念教学“教什么” 1.教数学概念的本质 概念：反映事物本质属性的思维产物. 数学：空间形式和数量关系. 数学概念：反映数学对象的本质属性的思维产物. 本质属性：共有性，特有性，整体性； 相对性：在一定范围内保持不变的性质是“本质属性”，而可变的性质则是“非本质属性”。 （1）概念教学的关键是揭示本质属性 示例1：集合概念的教学 幼儿园孩子学习集合。 应如何学习集合？ 示例2：数列概念的教学 数列的本质是什么？ 应如何学习数列？ 示例3：函数概念的本质 设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集. 进一步思考：函数的本质究竟是什么？ A.“非空数集”是函数的本质属性之一吗？ B.“单值对应”是函数的本质属性之一吗？ C. “对应法则”是函数的本质属性之一吗？ D.A同f同、但B不同的两个函数，是否为同一个函数？ E.函数本质上是一种人为约定的特殊“对应”. (2)凸显概念本质的基本策略是“变式教学” 变化当中保持不变的属性就是事物的本质属性。 变式是变更对象的非本质属性或本质属性特征的表现形式，变更观察事物的角度或方法，以突出对象的本质特征，突出那些隐蔽的本质要素。 概念变式和非概念变式，统称为概念性变式. 示例4：复数的本质 二元的复数不仅有数量意义,而且还有方向意义，“数量加方向”是复数的本质属性。 用几何形式表示：它的意义是一个向量，其本质特征是向量的长度和方向; 用三角形式表示：在z=r(cosθ+isinθ)中，r表示复数向量的长度，θ表示复数向量的方向； 用代数形式表示:在z=a+bi中，复数向量的长度是“ ”，“ ”就表示了复数向量的方向。 示例5：向量的数量积 ① 代数表征： ，说明两个向量的数量积是3个实数的乘积。 ② 几何意义： 叫做 在 的方向上的投影，故数量积在图形上表征为两条线段“长度”的乘积。 ③ 变式理解： (3)背会数学定义不等于掌握了数学概念 示例6：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么事件发生的概率P（A）=p。 频率稳定于概率，是不是说频率的极限是概率？频率稳定于p，能不能写成： ①只有大量试验的频率才能作为概率的估计. 频率总可以作为概率的估计, 试验次数的多少只是影响估计的精度, 试验次数随实际问题而定. ②把“用频率估计概率”错误地理解为用频率的稳定值估计概率或频率的稳定值是概率的估计等. 频率的稳定值就是概率, 但仅从试验中我们无法知道频率的稳定值具体是多少. ③ “试验次数少频率不准确” “随着试验次数的增加频率越来越接近概率”. 频率随试验结果而改变, 没有准确与不准确的问题. 试验结果确定了, 频率就定了. 试验次数的增加，不能绝对保证频率越来越接近概率.只是当实验次数很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小. （4）概念教学应“淡化形式，注重实质” 陈省身：“当然不能考定义、定理，只能考具体问题，看你能不能把定义落实到例子上”。 示例7：对称轴，角；导数，定积分 思考： ， 是指数函数吗？ ， 是对数函数吗？ 给出一个函数，怎么知道它能否变成一个指数函数