一道例题的多种解法-庆贺寺中学.DOC

一题多解渗透建模思想 松滋市刘家场镇庆贺寺中学 吴华锋 背景介绍： 用二次函数知识解决实际问题一直以来是学生最感到头痛的问题，这不仅要求学生具有扎实的二次函数基础知识，还必须具备从实际问题中抽象出数学问题的数学建模思想，以及较高的分析问题、解决问题的能力。如何使学生消除这一心理，真正理解数学的本质？这一节《二次函数与实际问题》新课的讲授变得非常重要。因为前面已经学习了用二次函数知识解决实际问题，对于这一节课许多学生都能猜到本节课的实际问题还是用二次函数知识解决，但是让学生联想到用什么知识解决什么样的实际问题，使学生体验数学建模思想，是上好这一节课的关键。 情景描述： 孙老师在上二次函数的应用时出示如下问题，让学生仔细读题，理解题意后，问道：“谁能说出这个问题可以建立什么样的模型？怎样解决？” 题目：如图1是抛物线形拱桥，当水面在L处时，拱顶高出水面2m，水面宽4m。水面下降1m，水面宽度增加多少？ （问题一出来，许多同学不屑一顾。） 众生：这还不简单吗？当然是建立二次函数的模型来解决，这几天不都在学习二次函数知识吗？ 孙老师：你们能从题意中看出来吗？ 生1：题目中告诉我们是抛物线形拱桥，而二次函数的图象又是抛物线，所以，我想一定是用二次函数知识解决。 生2：老师，这个问题的两个变量应该是水面的宽度和水面离拱顶的高度，但这两个变量之间具有怎样的函数关系，题目中并没有告诉我们呀！ （教室里寂静大约半分钟。） 生3（数学科代表）：这个问题中水面下降1m，就是水面离拱顶是3m时，水面的宽度，这个宽度就是抛物线上两点之间的距离，只要求出抛物线上到抛物线顶点的距离是3m时点的横坐标就可以了。 （学生已经把实际问题转化为数学问题，而且找到了解决问题的突破口，学生的思维过程正是数学建模的过程，下面是孙老师的提问） 孙老师：科代表分析得非常好！请大家结合前几次课运用函数知识解决实际问题的习题，想一想这个实际问题和前面建立函数关系的思想，方法一样吗？ （学生陷入回忆、沉思之中，偶尔有小声交流的声音，还有的同学翻书看前几课的例题。） 生4：前两节课中，第一节课销售问题中的利润与价格之间的关系，是题目本身就蕴涵了一些数量关系，第二节课又可以根据图形中有关线段之间关系建立函数关系，而这个问题又是直接利用抛物线图象解决问题。 （可见学生有了根据不同题型建立函数关系的一般思路和方法，学生发现这一点的过程，实际上就是分析、比较后的数学建模过程。） 孙老师：建立函数关系的方法很多，就象刚才这个同学讲的那样，如果实际问题中的几个变量本身就蕴涵一些数量关系的，可根据数量关系建立函数关系；如果是有关几何图形又可以根据图形中有关线段之间的关系建立函数关系；今天的有关抛物线形的实际问题，应该直接利用图象解决问题哟！刚才生3讲得好，如何用图象解决呢？ （此时，许多同学不约而同地说：如果能求出抛物线的解析式就好了。） 孙老师：怎样才能求抛物线的解析式呢？要求抛物线的解析式必须要建立平面直角坐标系，表示出一些点的坐标，那么坐标系应该建在哪儿呢？我们一起来试试看，好吗？ 生5：老师，我想把坐标原点放在抛物线顶点，因为这种方法求抛物线是最简单的！ （生5是个懒惰而又聪明的学生，可“懒惰”的学生往往会想到最简捷的方法！） 孙老师：如果这样建立坐标系的话，只要几个已知点的坐标，你能把已知条件转化为点的坐标吗？（结合图2） 生6：在这个坐标系中，水面宽4m，拱顶离水面2m时，实际上就是告诉我们两个点的坐标（2，-2），（-2，-2），设抛物线的解析式为y=ax2，只要取一个点的坐标代入解析式，就可以解决问题了。 孙老师：这种建立平面直角坐标系的方法非常简捷！还有其他方法想试一试吗？ 生7：我想把坐标系建立在水面。也就是横轴经过水面，纵轴经过抛物线顶点。 孙老师：这个同学讲的方法，你们能找到一些点的坐标吗？（结合图3） 生8：能！我找到三个点的坐标，（-2，0），（2，0），（0，2），设交点式就能解决。 （这时，学生都很激动，跃跃欲试，想找到更多方法。） 生9：我想把坐标系原点建在水面与拱桥的交点处！（图4） 生10：我想把坐标系原点建在水底！（图5） 生11：横轴建在水底，纵轴建在其他任一地方行吗？（图6） 孙老师：建立的坐标系位置是否可行，主要看能否找到一些点的坐标，求出抛物线解析式，这几位同学的方法是否可行呢？ 生12：把坐标系原点建在水面与拱桥的交点处，我能找到点的坐标（0，0），（4，0），（2，2），设顶点式或交点式都能解决，其实把坐标系原点放在另一个水面与拱桥交点处也是可以的。 生13：把坐标系原点放在水面与拱桥交点处，这两种方式求出的解析式实际上是关于y轴对称的。 生14：如果把坐标系原点放在水底的话必须要知道水的深度才能表示出点的坐标，可条件中没有