二分与贪心算法.PDF

二分与 贪心 算法 郭 炜 刘家瑛 北京大学 算法基础 1 2 POJ 1328 雷达安装问题 问题描述 • 一共有n个小岛位于x轴之上, x轴为海岸, x轴上方为海洋 • 现需要在海岸上建立雷达, 每个雷达的覆盖半径为d • 也就是说每个雷达能覆盖距离它不超过d的所有点 • 要求求出在海岸建立最少的雷达的数目, 使得可以覆盖所 有的小岛. 可以认为每个小岛都是一个点 3 程序输入 • 输入包含若干组数据 • 每组数据的第一行是两个整数n和d (1 ≤ n ≤ 1000), 分别表示小岛的数量和雷达的半径 • 接下来有n行, 每行的两个整数, 分别表示各个小岛的坐标 • 输入以0 0结束 4 程序输出 对于每组数据, 输出一行 • 最小的雷达数, 如果无解则输出-1 5 样例输入 样例输出 3 2 Case 1: 2 1 2 Case 2: 1 -3 1 2 1 1 2 0 2 0 0 6 解题思路 找最少的雷达覆盖所有的小岛 直接求解并不容易 反过来, 从小岛入手, 考虑每个小岛被覆盖所需雷达的位置! 根据每个小岛的位置 求出这个 小岛i 对应覆盖它的雷达的位置 必须在x轴的 [s[i].left, s[i].right] 之间 7 解题思路 问题转化为: • 每个小岛对应x轴上的一段线段[s[i].left, s[i].right] • 现在要求出最少的点, 使得所有的线段都被覆盖到 • 贪心解决! 8 解题思路 由小到大将线段按左端点排序 • 贪心: 找到一个点, 能覆盖尽可能多的线段 因此, 依次加入一根 线段 i • 如果这个线段与当前的所有线段 (j, j+1, … i-1) 没有公共交点, • 则说明需新建雷达 S[i].left min( s[j].right, s[j+1].right, … , s[i-1].right ) • 否则加入当前的线段集合 9 解题思路 实现的时候, 只用维护 当前集合右端点的最小值 即判断新加入的线段的左端点是否大于当前集合右端点最小值 • 若小于等于, 说明有公共交点 • 加入当前集合, 更新右端点的最小值 • 若大于, 说明无公共交点 • 建立新雷达, 建立新