和的分布：Z=X+Y.PPT

当 n2 k ? n1+ n2 时 故 X + Y ~ B (n1+ n2 ， p)． 　　事实上，从二项分布的背景，若每次试验事件A 发生的概率为 p ，则X + Y 表示做了n1+ n2 次 独立试验事件A 发生的次数． 关于Poisson 分布的和的分布的说明 　　X ~ P(?1)， Y ~ P(?2)，则Z = X + Y 的可能取值为 0，1，2， ? 　　问题：已知二维随机变量( X ，Y )的密度函数，g(x，y)为已知的二元函数，Z=g( X ，Y )．　 求：Z 的密度函数． 　　方法： 　　从求Z 的分布函数出发，将Z 的分布函数转化为( X ，Y )的事件； 　　建立一个新的二维随机变量(Z ，X )或(Z， Y )， 　　求其边缘分布得Z 的密度函数． 二维连续型随机变量函数的分布 (1) 和的分布：Z = X + Y 　　设( X ，Y )为连续型随机变量，联合密度函数为 f (x，y)，则 ? z ? z x +y= z 或 * §2.6 随机变量的函数及其分布 　　问题：已知随机变量 X 的概率特性 —— 分布律或分布密度（密度函数）． Y = g ( X ) 求随机因变量Y 的概率特性． 方法：将与 Y 有关的事件转化成 X 的事件． 设随机变量 X 的分布律为： 　　由已知函数 g ( x) 可求出随机变量 Y 的所有可能取值，则 Y 的概率分布为： 离散型随机变量函数的分布 例1　已知 X 的概率分布为 X pk -1 0 1 2 求：Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律． 解 Y 1 pi -3 -1 1 3 Y 2 pi 1 0 1 4 Y 2 pi 0 1 4 例2　已知 X 的概率分布为 其中 p + q = 1，0 p 1， 　　　　　　　　　　　　　　求Y = Sin X 的概率分布． 解 故 Y 的概率分布为 Y pi -1 0 1 　　已知随机变量 X 的密度函数 f (x) (或分布函数)求 Y = g( X ) 的密度函数或分布函数． 方法： (1) 从分布函数出发 (2) 从密度函数出发 连续性随机变量函数的分布 例3　已知X密度函数为 为常数，且 a ? 0, 求 fY ( y )． 解 当a 0 时， 当a 0 时， 故 例如，设 X ~ N (? ,?2) , Y = a X +b, 则 Y ~ N ( a? +b, a2?2 ) 特别地 ，若 X ~ N ( ? ,? 2) ，则： 例4　X ~ E (2), Y = – 3X + 2，求 解 例5　已知 X ~ N (0,1) , Y = X 2 , 求 f Y (y)． 解法一　从分布函数出发． 当y 0 时，FY (y) = 0 当y 0 时， [ y y [ ] [ 解法二　从密度函数出发 即 当 y 0 时 当 y 0 时 y y 故 一般地 y x1 x2 x3 y = g(x) x ? xn 特别地，若g(x)为单调函数，则 y = g(x) x y x1 其中 例6　设 求 f Y (y)． x y (1 - y)3 解 例7　设 X 的概率密度函数为 求 的概率密度函数． 　　解　由图可知, Y 的取值范围为(0,1)．故当 y ? 0 或 y ?1 时 f Y (y) = 0． y ? x ? 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y ? y ? arcsiny ? - arcsiny ? 1 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.2 0.4 0.6 0.8 1 当0 ? y 1 时 故 作业 P 147 习题二 30，31，32 ，41 ，42 　　问题：已知二维随机变量( X ，Y )的概率特性g(x，y)为已知的二元函数，Z = g( X ，Y )． 求：Z 的概率特性． 方法：转化为( X ，Y )的事件． 当( X ，Y )为离散型随机变量时，Z 也为离散型， 当( X ，Y )为连续型随机变量时， 其中 的几何意义： Dz 　　例1　设二维离散型随机变量( X，Y )的概率分布为： X Y pij -1 1 2 -1 0 求 的概率分布 离散型二维随机变量的函数 　　解　根据( X，Y )的联合概率分布可得如下表格： P X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y ) (-1,-1