如果随机变量X服从正态分布-artistjicom.PPT

2.6 正态分布 高二数学 选修2-3 引入 正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述。 复习 100个产品尺寸的频率分布直方图 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535 产品 尺寸 （mm) 频率 组距 复习 200个产品尺寸的频率分布直方图 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535 产品 尺寸 （mm) 频率 组距 频率 组距 产品 尺寸 （mm） a b 若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为概率密度曲线． 总体在区间 内取值的概率 概率密度曲线 概率密度曲线的形状特征． “中间高，两头低， 左右对称” 高尔顿板 11 a b 1 、正态曲线的定义： 函数 式中的实数μ、σ(σ0)是参数，分别表示 总体的平均数与标准差，称f( x)的图象称为正态曲线 2.正态分布的定义: 如果对于任何实数 ab,随机变量X满足: 则称为X 的正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定.正态分布记作N（ μ，σ2）. 如果随机变量X服从正态分布， 则记作 X~ N（ μ，σ2） m 的意义 产品 尺寸 (mm) x1 x2 总体平均数反映总体随机变量的 平均水平 x3 x4 平均数 x= μ 产品 尺寸 (mm) 总体平均数反映总体随机变量的 平均水平 总体标准差反映总体随机变量的 集中与分散的程度 平均数 s的意义 正态总体的函数表示式 当μ= 0，σ=1时 标准正态总体的函数表示式 0 1 2 -1 -2 x y -3 3 μ=0 σ=1 标准正态曲线 3、正态曲线的性质 0 1 2 -1 -2 x y -3 μ= -1 σ=0.5 0 1 2 -1 -2 x y -3 3 μ=0 σ=1 0 1 2 -1 -2 x y -3 3 4 μ=1 σ=2 μ （－∞，μ] （μ，+∞） （2）当 = 时,函数值为最大. (4) 的图象关于 对称. （3） 的值域为 （5）当 ∈ 时 为增函数. 当 ∈ 时 为减函数. =μ x （6）曲线与x轴之间的面积为1 (1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交 具有两头低、中间高、左右对称的基本特征 (7)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 4、特殊区间的概率: m-a m+a x=μ 若X~N ,则对于任何实数a0,概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。 我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有4.6％，在 以外取值的概率只有0.3 ％。 0.9974 （μ－3σ，μ＋3σ] 0.9544 （μ－2σ，μ＋2σ] 0.6826 （μ－σ，μ＋σ] 取值概率 区 间 典型题目 例1、下列函数是正态密度函数的是（ ） A. B. C. D. B （一）正态曲线及性质 例2、标准正态总体的函数为 （1）判断f(x)的奇偶性； （2）求f(x)的最大值； （3）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。 练习： 1、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函 数的最大值等于 ，求该正态分布的概率密度函数的解析式。 20 25 30 15 10 x y 5 35