微积分3方法总结三重积分曲线曲面积分及物理应用类型1计算.DOC

微积分3方法总结 一、三重积分、曲线曲面积分及物理应用 ★类型1 计算三重积分 解题策略 画出积分区域，选择投影法、平面截割法、柱面坐标系下的计算、球面坐标系下的计算. 类型2 求三重积分的累次积分 解题策略 根据累次积分的不等式画出积分区域，选择投影法、平面截割法、柱面坐标系下的计算、球面坐标系下的计算. ★类型3 第一类曲线、曲面的积分 解题策略 用第一类曲线、曲面的积分的公式或对称性来简化计算. 重心公式 设密度函数为连续，求空间形体的重心坐标（是曲线、曲面或空间立体），设的重心坐标为 是的重心。 特别常数时，其中M是的质量，是的大小。 当常数时，关于Oxy平面对称知，z关于z是奇函数，有，则同理，当常数时，关于Ozx平面对称，则当常数时，关于Ozy平面对称，则 转动惯量公式 设或的密度函数连续，求该物体关于L轴的转动惯量。 设点P至L的距离为， 于是 若（是空间曲线或曲面或立体）， 当L是z轴时， 当L是x轴时， 当L是y轴时， 若（是平面曲线或平面区域）， 当L是x轴时， 当L是y轴时， 引力公式 设，的密度函数连续。是一质点，质量为m，求对质点的引力。 其中 同理，若，的密度函数连续，是一质点，质量为m，则对质点的引力为 其中 类型4重心 解题策略 重心公式 类型5转动惯量 解题策略 转动惯量公式 类型6引力 解题策略 引力公式 二、第二类曲线与曲面积分 ★类型1平面第二类曲线积分计算 解题策略1．其中L是平面上简单封闭曲线。 （1）若能找到一个单连通区域D，使，而P，Q在D上具有连续的一阶偏导数，且，由平面曲线积分与路径无关性知 （2）若L包围的区域为在上具有连续的一阶偏导，但此时可用格林公式，有当L沿正向，取“+”号，沿负向取“一”号。 （3）若L包围的区域有洞，在这些洞上，或者偏导数不连续或者，但在其余点，具有连续的偏导数且，此时可找一简单封闭曲线L1与L环绕同一些洞且方向一致则由前面给出的复连通区域上的定理知.而L1容易化成参数方程且转化成一元函数定积分后，容易计算。 （4）若L容易化成参数方程且转化成一元函数定积分后，容易计算，也可直接化成一元函数积分。 2．其中是非封闭的平面曲线，起点，终点。 （1）若能找到一个单连通区域D，使，在D上具有连续的一阶偏导数，且，该曲线积分与路径无关，则 （2）若偏导数连续，但，且化成参数比较方程困难或者化成参数方程转化一元函数定积分很难计算，且加一个简单曲线（比如直线段）构成封闭曲线，则可加一个简单曲线L，减一个简单曲线L，即原式 而二重积分与在L上的第二曲线积分都容易计算。（二重积分前的“”号，由曲线方向确定） （3）若容易化成参数方程，且第二类曲线积分转化为一元函数定积分以后容易计算，也可直接转化。 3．第二类曲线积分有时也可转化为第一类曲线积分，利用第一类曲线积分来计算。 4．第二类曲线积分的牛顿一莱布尼兹公式 若，则 以上方法请大家灵活使用。 类型2求原函数 解题策略1．在一元函数里，若连续，则必有原函数，在二元函数里，即使连续，也不一定存在，使若在单连通区域D上具有连续的一阶偏导，且，则，使即，其中（定点） 2．同理 若P，Q，R在空间某线单连通区域V上具有连续的一阶偏导数，且,则，使，即其中 类型3求平面区域的面积 解题策略 利用平面封闭曲线上的第二类曲线积分计算平面图形的面积：在格林公式中，令有，因此其中是有界闭区域D的边界，沿正向. 类型4 求中含有待求的字母常数 解题策略 若曲线积分与路径无关，中含有待求的字母常数，且具有连续的偏导数，由曲线积分与路径无关的四个等价条件知，从中求出待求字母常数。 ★类型5 求第二类曲面积分 解题策略1． （1）若P，Q，R在包围的立体区域V具有连续的一阶偏导数，则 ，曲面沿外侧取“+”号，曲面沿内侧取“-”号。要求右边三重积分容易计算。 （2）若曲面包围的立体V内有洞，而在洞外面，P，Q，R具有连续偏导数，且，，利用推论2转化为与包含同一些洞的曲面上的第二类曲面积分，而且沿同一侧方向，即， 要求是简单的曲面，且右边或者直接计算或者化成第一类曲面积分计算。 （3）若曲面本身也比较简单，也可直接计算或者化成第一类曲面积分计算。 2．，其中S是非封闭的光滑曲面。 （1）若直接计算比较困难，而加一个简单曲面S1构成封闭曲面，且符合高斯定理条件，则 “”由曲面法线方向的侧确定，要求右边的三重积分容易计算，后面一项第二类曲面积分直接容易计算。 （2）也可直接计算或转化为第一类曲面积分来计算。 类型6 求空间第二类曲线积分 解题策略1．，其中L为空间简单封闭曲线。 （1）若找到一个线单连通区域V，使在V上具有连续的一阶偏导数，且则由曲线积分与路径无关性知 （2）若P,Q,R偏导数连