《信息论与编码》_第21讲_信道编码.ppt

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《信息论与编码》_第21讲_信道编码

6.4 一些特殊的线性分组码 6.4.1 汉明码 6.4.2 Hadamard码 6.4.3 Reed-Muller码 6.4.4 Golay码 6.4一些特殊的线性分组码 本节介绍几种重要的线性分组码。 一、二元Hamming码 N=2m-1,L=2m-1-m,即二元(2m-1,2m-1-m)线性分组码。 其一致校验矩阵是如下的m×(2m-1)阶矩阵H: H的(2m-1)列恰好是(2m-1)个非全0的m维向量。 6.4一些特殊的线性分组码 定义6.2.1 如果任一个接收向量y,都有唯一的码字u满足d(y, u)≤t,则称该码为t阶完备码。 命题 当一个(N,L)线性分组码是t阶完备码时,所有不同伴随式所对应的陪集首恰好是所有重量不超过t的N维向量。 注意:不同伴随式的个数为2N-L,重量不超过t的N维向量的个数为 定理6.2.1 二元Hamming码(它是二元(2m-1,2m-1-m)线性分组码)是1阶完备码。(2m=1+2m-1 ) 6.4一些特殊的线性分组码 二、Hadamard码 从Hadmard矩阵的行中选择码字可以构造出Hadamad码。Hadmard矩阵Mn是一个n×n阶矩阵,其中n=2m。该矩阵满足 有一行为全0行,其余的行有2m-1个0,2m-1个1。 任意两行有2m-1个位置不同, 2m-1个位置相同。 6.4一些特殊的线性分组码 6.4一些特殊的线性分组码 以Hadmard矩阵Mn的所有行作为所有的码字,得到的码就是Hadamad码。 Hadamad码的参数如下: 共有n个码字,因此共有n个信息,因此信息长为logn=m。 码长为n。 编码效率为R=m/n=m/2m。 dmin=2m-1=n/2。 生成矩阵为Mn的任意m个非全0行构成的m×n阶矩阵。(?) 6.4一些特殊的线性分组码 四、Golay码 Golay码是线性(23, 12)码,最小距离为7。将其增加一个全校验位扩展为二元线性(24,12)码,最小距离为8。能纠3个错的完备线形分组码. 总 结 汉明码 Hadamard码 Reed-Muller码 Golay码 网络工程系-Information Theory and Coding 第六章 信道编码 赵永斌 石家庄铁道大学信息科学与技术学院 * 第22讲 * 回顾 汉明距离与汉明重量 汉明距离与汉明重量间关系 线性分组码译码 检错与纠错 例6.2.4 一个二元(7,4)Hamming码的系统码形式的矩阵和校验矩阵分别为 等价的编码方程为 伴随式计算方程 Hadamard矩阵为正交矩阵,即 中的任意不同两行(列)的点积为0,即 超正交矩阵 :Hadamard矩阵 中的第1列(全+1列)去掉后由于任两行的点积为-1。 将Hadamard矩阵元素+1/-1映射为0/1,则Hadamard矩阵映射后的行向量为一个二元向量,以这些二元向量的部份或全体就构成标准0/1二元意义上的分组码,并称为Hadamard码。具体的Hadamard码的选择构成有正交码、双正交码和超正交码三种形式。 (A)正交码:以 的全部行向量的0/1映射向量为码字。 (B)双正交码:以 和 的全部行向量的0/1映射向量为码字。 (C)超正交码:以 的全部行向量的0/1映射向量为码字。 可以证明正交码、双正交码和超正交码均是线性分组码。 (7,3)超正交码的超正交矩阵 和生成矩阵G分别为 其中各个子矩阵的定义为 1) 为 矩阵,由全1向量构成。 2) 为 矩阵,由所有可能的m元组组成矩阵的列向量。 3) 为 的所有两不同行向量的叉积构成其全部行向量的矩阵。两向量的叉积为 三、 Reed-Muller r阶码RM(r,m) ,是一种(n,k,d)线性分组码,满足 其中各个子矩阵的定义为 1) 为 矩阵,由全1向量构成。 2) 为 矩阵,由所有可能的m元组组成矩阵的列向量。 3) 为 的所有两不同行向量的叉积构成其全部行向量的矩阵。两向量的叉积为 4) 为 的所有三不同行向量的叉积构成其全部行向量的矩阵。 5) 为 的所有 个不同行向量的叉积构成其全部行向量的矩阵。 r 码的对偶码仍是一个Reed-Muller码,为 码。 由于 因此某种二元(23,12)码一定可以纠正任意小于等于3个差错,所以 ? School of Computer Science and Technology, SWUST * ? School of Computer Science and Technology, SW

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