《高中竞赛教程》教案：第30讲__数列的求和.doc

第11讲 数列的求和 本节主要内容有Sn与an的关系；两个常用方法：倒写与错项；各种求和：平方和、立方和、倒数和等；∑符号的运用. 掌握数列前n项和常用求法数列求和的方法主要有倒序相加法、错位相减1.重要公式 ①1+2+…+n=n(n+1) ②12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1) ③13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2 2.数列{an}前n 项和Sn与通项an的关系式：an= 3. 在等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd,在等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn． 4.裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项．应掌握以下常见的裂项： 5.错项相消法 6.并项求和法 an｝的通项公式满足：n为奇数时，an=6n－5 ，n为偶数时，an=4 n ，求sn. 分析 数列｛an｝的前n项可分为两部分，一部分成等差数列，用等差数列求和公式；另一部分成等比数列，用等比数列求和公式。但数列总项数n的奇偶性不明，故需分类讨论. 解 若n为偶数2m，则S2m=1+13+25+…+[6(2m－1)－5]+42+44+…+42m=6m2－5m+(42m－1)， Sn=. 若n为奇数2m+1时，则 S2m+1=S2m+6(2m+1)－5=6m2+7m+1+(42m－1)， Sn=. 说明 如果一个数列由等差数列与等比数列两个子数列构成，常采纳先局部后整体的策略，对子数列分别求和后，再合并成原数列各项的和.类似地，若一个数列的各项可拆成等差数列型与等比数列型两部分，也可采纳先局部后整体的策略. 例2(2004年湖南卷类) 已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1，2a7，3a4 成等差数列． （I）证明 12S3，S6，S12－S6成等比数列； （II）求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n－2． 分析 (1)对于第(l)问，可先依据等比数列的定义与等差数列的条件求出12S3，S6，S12－S6，并证明它们构成等比数列．对于第(2)问， Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n－2． 由成等差数列， 得， 即 变形得 所以（舍去）． 由 得 所以12S3，S6，S12－S6成等比数列． （Ⅱ）解： 即 ① ①×得： 所以 说明 本题是课本例题：“已知S是等比数列{}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求2，8，5成等差数列”的类题，是课本习题：“已知数列{}是等比数列，S是其前，，成等差数列，求证2 S，6，12－S6成等比数列”的改编．(2000年全国高考题)设为等比数例，，已知，． （Ⅰ）求数列的首项和公式；（Ⅱ）求数列的通项公式． 2． (2000年全国高中数学联赛)设Sn=1+2+3+…+n,n(N，求f(n)=的最大值. B类例题 例3 (2004年重庆卷) （1）令求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 分析 利用已知条件找与的关系,再利用等差数列与等比数列之积的错位相差法来解决此类问题. 解 （1）因 故{bn}是公比为的等比数列，且 （2）由 注意到可得 记数列的前n项和为Tn，则 说明 本题主要考查递推数列、数列的求和，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 例4 (1996年全国高中数学联赛第二试)设数列{an}的前项和Sn=2an－1(n=1,2,3,()，数列{bn}满足b1=3, bk+1ak+bk (k=1,2,3().求数列{bn}的前n项和. 分析 由数列{an}前n 项和Sn与通项an的关系式：an=可得an. 解 由可得an+1=2an即数列{an}是等比数列,故an=2n－1,又由ak=bk+1－bk 得bn=b1 +a1+ a2+ a3+…+ an－1 =3+= 所以Sn =b1+ b2+ b3+…+ bn=1+2+22+…+2n－1+2n= 例5 (2004年全国理工卷) 已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an +(－1)n,n≥1. (1)写出{an}的前3项a1,a2,a3； (2)求{an}的通项公式； (3)证明：对任意的整数m4，有. 数列{an}前n 项和Sn与通项an的关系,求anan与an-1或 an+1其转化为的递推关系,再依此求an. 对于不等式证明考虑用放缩法,若单项放缩难以达到目的,可以尝试多项组合的放缩. 解 (1)当n=1时,有：S1=a1=2a1+(－1) a1=1； 当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(－1)2a2=0； 当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(－1)