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【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 数列的通项与求和学案 理 新人教A版
数列的通项与求和
导学目标: 1.能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.
自主梳理
1.求数列的通项
(1)数列前n项和Sn与通项an的关系:
an=
(2)当已知数列{an}中,满足an+1-an=f(n),且f(1)+f(2)+…+f(n)可求,则可用________求数列的通项an,常利用恒等式an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1).
(3)当已知数列{an}中,满足=f(n),且f(1)·f(2)·…·f(n)可求,则可用__________求数列的通项an,常利用恒等式an=a1···…·.
(4)作新数列法:对由递推公式给出的数列,经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项.
(5)归纳、猜想、证明法.
2.求数列的前n项的和
(1)公式法
等差数列前n项和Sn=____________=________________,推导方法:____________;
等比数列前n项和Sn=
推导方法:乘公比,错位相减法.
常见数列的前n项和:
a.1+2+3+…+n=__________;
b.2+4+6+…+2n=__________;
c.1+3+5+…+(2n-1)=______;
d.12+22+32+…+n2=__________;
e.13+23+33+…+n3=__________________.
(2)分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列.
(3)裂项(相消)法:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和.
常见的裂项公式有:
=-;
=;
=-.
(4)错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.
(5)倒序相加:例如,等差数列前n项和公式的推导.
自我检测
1.(原创题)已知数列{an}的前n项的乘积为Tn=3n2(nN*),则数列{an}的前n项的( )
A.(3n-1)B.(3n-1)
C.(9n-1)D.(9n-1)
2.(2011·邯郸月考)设{an}是公比为q的等比数列,Sn是其前n项和,若{Sn}是等差数列,则q为( )
A.-1B.1
C.±1D.0
3.已知等比数列{an}的公比为4,且a1+a2=20,设bn=log2an,则b2+b4+b6+…+b2n等于( )
A.n2+nB.2(n2+n)
C.2n2+nD.4(n2+n)
4.(2010·天津高三十校联考)已知数列{an}的通项公式an=log2 (nN*),设{an}的前n项的和为Sn,则使Sn-5成立的自然数n( )
A.有最大值63B.有最小值63
C.有最大值31D.有最小值31
5.(2011·北京海淀区期末)设关于x的不等式x2-x2nx (nN*)的解集中整数的个数为an,数列{an}的前n项和为Sn,则S100的值为________.
6.数列1,4,7,10,…前10项的和为________.
探究点一 求通项公式
例1 已知数列{an}满足an+1=,a1=2,求数列{an}的通项公式.
变式迁移1 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
探究点二 裂项相消法求和
例2 已知数列{an},Sn是其前n项和,且an=7Sn-1+2(n≥2),a1=2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn对所有nN*都成立的最小正整数m.
变式迁移2 求数列1,,,…,,…的前n项和.
探究点三 错位相减法求和
例3 (2011·荆门月考)已知数列{an}是首项、公比都为q (q0且q≠1)的等比数列,bn=anlog4an (nN*).
(1)当q=5时,求数列{bn}的前n项和Sn;
(2)当q=时,若bnbn+1,求n的最小值.
变式迁移3 求和Sn=+++…+.
分类讨论思想的应用
例 (5分)二次函数f(x)=x2+x,当x[n,n+1](nN*)时,f(x)的函数值中所有整数值的个数为g(n),an=(nN*),则Sn=a1-a2+a3-a4+…+(-1)n-1an=( )
A.(-1)n-1 B.(-1)n
C. D.-
【答题模板】
答案 A
解析 本题考查二次函数的性质以及并项转化法求和.
当x[n,n+1](nN*)时,函数f(x)=x2+x的值随x的增大而增大,则f(x)的值域为[n2+n,n2+3n+2](nN*),g(n)=2n+3(nN*),于是an==n2.
方法一 当n为偶数时,S
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