【考前三个月】2015届高考数学(人教通用,理科)必考题型过关练：专题5 第27练(数列求和问题大全).docx

第27练　数列求和问题大全[内容精要]　数列综合解答题中重要的一步就是对数列的求和问题，针对数列通项公式形式的不同，求和方法也多种多样，本节主要介绍几种有关数列求和问题的解决方法．题型一　分组转化法求和例1　等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.破题切入点　(1)可以通过逐个验证来确定数列的前三项，进而求得an；(2)可以分组求和：将{bn}前n项和转化为数列{an}和数列{(－1)nlnan}前n项的和．解　(1)当a1＝3时，不合题意；当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3.故an＝2·3n－1 (n∈N*)．(2)因为bn＝an＋(－1)nlnan＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3]＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3.所以当n为偶数时，Sn＝2×＋ln3＝3n＋ln3－1；当n为奇数时，Sn＝2×－(ln2－ln3)＋ln3＝3n－ln3－ln2－1.综上所述，Sn＝题型二　错位相减法求和例2　已知：数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－n(n∈N*)．(1)求a1，a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若数列{bn}的前n项和为Tn，且满足bn＝nan(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.破题切入点　(1)代入求解即可．(2)由Sn＝2an－n得Sn－1＝2an－1－(n－1)，n≥2，两式相减构造数列求通项公式．(3)错位相减求和．解　(1)Sn＝2an－n.令n＝1，解得a1＝1；令n＝2，解得a2＝3.(2)Sn＝2an－n，所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)，两式相减得an＝2an－1＋1，所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N*)，又因为a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以an＋1＝2n，即通项公式an＝2n－1(n∈N*)．(3)bn＝nan，所以bn＝n(2n－1)＝n·2n－n，所以Tn＝(1·21－1)＋(2·22－2)＋(3·23－3)＋…＋(n·2n－n)，Tn＝(1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n)－(1＋2＋3＋…＋n)．令Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，②①－②，得－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，－Sn＝－n·2n＋1，Sn＝2(1－2n)＋n·2n＋1＝2＋(n－1)·2n＋1，所以Tn＝2＋(n－1)·2n＋1－(n∈N*)．题型三　倒序相加法求和例3　已知函数f(x)＝(x∈R)．(1)证明：f(x)＋f(1－x)＝；(2)若数列{an}的通项公式为an＝f()(m∈N*，n＝1,2，…，m)，求数列{an}的前m项和Sm；(3)设数列{bn}满足b1＝，bn＋1＝b＋bn，Tn＝＋＋…＋，若(2)中的Sm满足对不小于2的任意正整数m，SmTn恒成立，试求正整数m的最大值．破题切入点　(1)利用函数的解析式，化简f(1－x)即可求证．(2)注意利用(1)中的结论，构造倒序求和．(3)由已知条件求出Tn的最小值，将不等式转化为最值问题求解．(1)证明　因为f(x)＝，所以f(1－x)＝＝＝.所以f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝.(2)解　由(1)，知f(x)＋f(1－x)＝，所以f()＋f(1－)＝(1≤k≤m－1，k∈N*)，即f()＋f()＝.所以ak＋am－k＝，am＝f()＝f(1)＝.又Sm＝a1＋a2＋…＋am－1＋am，①Sm＝am－1＋am－2＋…＋a1＋am，②由①＋②，得2Sm＝(m－1)×＋2am＝－，即Sm＝－(m∈N*)．(3)解　由b1＝，bn＋1＝b＋bn＝bn(bn＋1)，显然对任意n∈N*，bn0，则＝＝－，即＝－，所以Tn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝3－.因为bn＋1－bn＝b0，所以bn＋1bn，即数列{bn}是单调递增数列．所以Tn关于n递增，所以当n∈N*时，Tn≥T1.因为b1＝，b2＝()2＋＝，所以Tn≥T1＝3－＝.由题意，知Sm，即－，解得m，所以正整数m