【考前三个月】(江苏专用)2015高考数学 高考必会题型 专题5 数列 第25练 数列求和问题大全.doc

第2练　数列求和问题大全 题型一　分组转化法求和 例1　等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前n项和Sn. 破题切入点　(1)可以通过逐个验证来确定数列的前三项，进而求得an； (2)可以分组求和：将{bn}前n项和转化为数列{an}和数列{(－1)nln an}前n项的和． 解　(1)当a1＝3时，不合题意； 当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3. 故an＝2·3n－1 (nN*)． (2)因为bn＝an＋(－1)nln an ＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1) ＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3] ＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3， 所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3. 所以当n为偶数时，Sn＝2×＋ln 3 ＝3n＋ln 3－1； 当n为奇数时， Sn＝2×－(ln 2－ln 3)＋ln 3 ＝3n－ln 3－ln 2－1. 综上所述，Sn＝ 题型二　错位相减法求和 例2　已知：数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－n(nN*)． (1)求a1，a2的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)若数列{bn}的前n项和为Tn，且满足bn＝nan(nN*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 破题切入点　(1)代入求解即可． (2)由Sn＝2an－n得Sn－1＝2an－1－(n－1)，n≥2，两式相减构造数列求通项公式． (3)错位相减求和． 解　(1)Sn＝2an－n. 令n＝1，解得a1＝1； 令n＝2，解得a2＝3. (2)Sn＝2an－n， 所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，nN*)， 两式相减得an＝2an－1＋1， 所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，nN*)， 又因为a1＋1＝2， 所以数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列． 所以an＋1＝2n，即通项公式an＝2n－1(nN*)． (3)bn＝nan，所以bn＝n(2n－1)＝n·2n－n， 所以Tn＝(1·21－1)＋(2·22－2)＋(3·23－3)＋…＋(n·2n－n)， Tn＝(1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n)－(1＋2＋3＋…＋n)． 令Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， 2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1， ①－，得－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1， －Sn＝－n·2n＋1， Sn＝2(1－2n)＋n·2n＋1＝2＋(n－1)·2n＋1， 所以Tn＝2＋(n－1)·2n＋1－(nN*)． 题型三　倒序相加法求和 例3　已知函数f(x)＝(xR)． (1)证明：f(x)＋f(1－x)＝； (2)若数列{an}的通项公式为an＝f()(mN*，n＝1,2，…，m)，求数列{an}的前m项和Sm； (3)设数列{bn}满足b1＝，bn＋1＝b＋bn，Tn＝＋＋…＋，若(2)中的Sm满足对不小于2的任意正整数m，SmTn恒成立，试求正整数m的最大值． 破题切入点　(1)利用函数的解析式，化简f(1－x)即可求证． (2)注意利用(1)中的结论，构造倒序求和． (3)由已知条件求出Tn的最小值，将不等式转化为最值问题求解． (1)证明　因为f(x)＝， 所以f(1－x)＝＝＝. 所以f(x)＋f(1－x)＝＋ ＝＝. (2)解　由(1)，知f(x)＋f(1－x)＝， 所以f()＋f(1－)＝(1≤k≤m－1，kN*)， 即f()＋f()＝. 所以ak＋am－k＝，am＝f()＝f(1)＝. 又Sm＝a1＋a2＋…＋am－1＋am， Sm＝am－1＋am－2＋…＋a1＋am， 由＋，得2Sm＝(m－1)×＋2am＝－， 即Sm＝－(mN*)． (3)解　由b1＝，bn＋1＝b＋bn＝bn(bn＋1)， 显然对任意nN*，bn0， 则＝＝－， 即＝－， 所以Tn＝(－)＋(－)＋…＋(－) ＝－＝3－. 因为bn＋1－bn＝b0， 所以bn＋1bn， 即数列{bn}是单调递增数列． 所以Tn关于n递增，所以当nN*时，Tn≥T1. 因为b1＝，b2＝()2＋＝， 所以Tn≥T1＝3－＝. 由题意