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【考前三个月】(江苏专用)2015高考数学 高考必会题型 专题5 数列 第25练 数列求和问题大全
第2练 数列求和问题大全
题型一 分组转化法求和
例1 等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nln an,求数列{bn}的前n项和Sn.
破题切入点 (1)可以通过逐个验证来确定数列的前三项,进而求得an;
(2)可以分组求和:将{bn}前n项和转化为数列{an}和数列{(-1)nln an}前n项的和.
解 (1)当a1=3时,不合题意;
当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时,符合题意;
当a1=10时,不合题意.
因此a1=2,a2=6,a3=18.所以公比q=3.
故an=2·3n-1 (nN*).
(2)因为bn=an+(-1)nln an
=2·3n-1+(-1)nln(2·3n-1)
=2·3n-1+(-1)n[ln 2+(n-1)ln 3]
=2·3n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3,
所以Sn=2(1+3+…+3n-1)+[-1+1-1+…+(-1)n]·(ln 2-ln 3)+[-1+2-3+…+(-1)nn]ln 3.
所以当n为偶数时,Sn=2×+ln 3
=3n+ln 3-1;
当n为奇数时,
Sn=2×-(ln 2-ln 3)+ln 3
=3n-ln 3-ln 2-1.
综上所述,Sn=
题型二 错位相减法求和
例2 已知:数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-n(nN*).
(1)求a1,a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)若数列{bn}的前n项和为Tn,且满足bn=nan(nN*),求数列{bn}的前n项和Tn.
破题切入点 (1)代入求解即可.
(2)由Sn=2an-n得Sn-1=2an-1-(n-1),n≥2,两式相减构造数列求通项公式.
(3)错位相减求和.
解 (1)Sn=2an-n.
令n=1,解得a1=1;
令n=2,解得a2=3.
(2)Sn=2an-n,
所以Sn-1=2an-1-(n-1)(n≥2,nN*),
两式相减得an=2an-1+1,
所以an+1=2(an-1+1)(n≥2,nN*),
又因为a1+1=2,
所以数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.
所以an+1=2n,即通项公式an=2n-1(nN*).
(3)bn=nan,所以bn=n(2n-1)=n·2n-n,
所以Tn=(1·21-1)+(2·22-2)+(3·23-3)+…+(n·2n-n),
Tn=(1·21+2·22+3·23+…+n·2n)-(1+2+3+…+n).
令Sn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n,
2Sn=1·22+2·23+3·24+…+n·2n+1,
①-,得-Sn=21+22+23+…+2n-n·2n+1,
-Sn=-n·2n+1,
Sn=2(1-2n)+n·2n+1=2+(n-1)·2n+1,
所以Tn=2+(n-1)·2n+1-(nN*).
题型三 倒序相加法求和
例3 已知函数f(x)=(xR).
(1)证明:f(x)+f(1-x)=;
(2)若数列{an}的通项公式为an=f()(mN*,n=1,2,…,m),求数列{an}的前m项和Sm;
(3)设数列{bn}满足b1=,bn+1=b+bn,Tn=++…+,若(2)中的Sm满足对不小于2的任意正整数m,SmTn恒成立,试求正整数m的最大值.
破题切入点 (1)利用函数的解析式,化简f(1-x)即可求证.
(2)注意利用(1)中的结论,构造倒序求和.
(3)由已知条件求出Tn的最小值,将不等式转化为最值问题求解.
(1)证明 因为f(x)=,
所以f(1-x)===.
所以f(x)+f(1-x)=+
==.
(2)解 由(1),知f(x)+f(1-x)=,
所以f()+f(1-)=(1≤k≤m-1,kN*),
即f()+f()=.
所以ak+am-k=,am=f()=f(1)=.
又Sm=a1+a2+…+am-1+am,
Sm=am-1+am-2+…+a1+am,
由+,得2Sm=(m-1)×+2am=-,
即Sm=-(mN*).
(3)解 由b1=,bn+1=b+bn=bn(bn+1),
显然对任意nN*,bn0,
则==-,
即=-,
所以Tn=(-)+(-)+…+(-)
=-=3-.
因为bn+1-bn=b0,
所以bn+1bn,
即数列{bn}是单调递增数列.
所以Tn关于n递增,所以当nN*时,Tn≥T1.
因为b1=,b2=()2+=,
所以Tn≥T1=3-=.
由题意
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