第5章 3散射-分波法与Born近似.ppt

§5.6低能散射―分波法 §5.7 高能散射－Born近似 * * 上面几节所讨论的微扰理论，只适用于求 分立能级的能量和对波函数修正而不适用于处 理体系能量组成连续谱的情况。在第2章讨论势 垒贯穿时我们看到，当粒子被势场散射时，粒 子的能量组成连续谱，这类问题能精确求解的 也很少，因而也需要用微扰理论。 在量子力学中，散射现象也称为碰撞现 象。研究粒子与势场(或粒子与粒子)碰撞的 过程有很重要的实际意义。我们对原子内部 结构的了解就是通过粒子与原子碰撞而取得 的。 Rutherford散射 Franck、Hertz电子与原子碰撞实验 原子核、基本粒子的研究 宇宙射线、气体放电、气体分子碰撞 1.散射截面的定义 如果一粒子与另一粒子碰撞的过程中， 只有动能的交换，粒子内部状态并无改变， 则称这种碰撞为弹性碰撞(或弹性散射)； 若碰撞中粒子内部状态有所改变(例如 原子被激发或电离)，则称为非弹性碰撞(成 非弹性散射)。 下面只讨论弹性碰撞的问题。 粒子被另一粒子或势场散射 dS A Z θ 单位时间内散射到面积元dS上的粒子数dn 同时，dn还应与入射粒子流强度N成正比 ： 垂直于入射粒子流前进的方向取一单位面积S0=1，单位时间内穿过S0的粒子数就是入射粒子流强度N。 与入射粒子、散射中心的性质以及它们 之间的相互作用和相对动能有关，称之为 散射截面。 Q称为总散射截面。 2.散射截面的计算公式 取散射中心为坐标原点。用V(r)表示入 射粒子与散射中心之间的相互作用势能， 则体系的Schr?dinger方程写为 令 则有 观测被散射的粒子都是在离开散射中心 很远的地方，所以讨论r→∞时ψ的 行为即可。 设r→∞时， V(r) →0，则r→∞处波函数 由两部分组成： 1.描写入射粒子的平面波 2.描写散射粒子的球面波 故 取A＝1，则 ，这表明单位体积内只有一 个入射粒子。 (5.39) 入射波的概率流密度： 散射波的概率流密度： 它表示单位时间内穿过球面上单位面积的粒 子数，故单位时间穿过面积dS的粒子数是 微分散射截面是 3.中心势场中的弹性散射――分波法 (5．40) 取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为 极轴，这个轴是我们所讨论问题中的旋转对称， 波函数ψ和散射振幅f都与φ角无关。 这个展式中每一项称为一个分波， 是第ｌ个分波，每一个分波都是方程(5．40)的 解。通常称ｌ＝0,1,2,……的分波分别为s，p， d，……分波。 径向波函数Rｌ(r)满足下列方程： 令Rl(r)=ul(r)/r,可将上式化为 (5．42) （r→∞） 其解为： 由此有： 又： 所以： （5.47） （5.48） 在（5.48）式两边乘以 对θ积分,并利用勒让德多项式的正交性 （或者再一次比较系数得到） 可以得到 将这结果代入（5.47）式，并利用 就得到： 讨论： 1.求散射振幅 的问题归结为求 是入射波第l个分波的位相， 是散射波第l个分波的位相。 2. 所以 是入射波经过散射后第l个分波 的位相移动(简称相移)。 的具体数值要解出方程(5．42)后才能 求得。 3. 第l个分波的散射截面 4．分波法的应用― 球形势阱与势垒所产生的散射 讨论低能粒子受球对称方形势阱的散射， 入射粒子能量很小，它的de Broglie波长比势场 作用范围大得多。 以a表示方形势阱的范围，于是粒于的势能 可写为 只需讨论s散射（l＝0） 在方程(5．42)中令l＝0得 ，r≤a ，ra 解是 由波函数标准条件， R(r)＝u(r)/r在r＝0处为有限， 所以 在r＝a处 连续得： 由此得到相移为： 由此可得到总散射截面为 在粒子能量很低k→0的情况下 式中 如果散射场不是势阱而是方形势垒，即 V0＞0， 1. Born近似 如果入射粒子的动能比粒子与散射中 心相互作用的势能大得多，以致势能V(r) 可以看作是微扰时， Born近似法来计算散 射截面。 体系的Hamilton为