九年级数学上册圆专题 辅助线.doc

圆 专题一 辅助线 1．? 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：1、利用垂径定理； 2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 4、可得等腰三角形； 5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。 例：如图，ＡＢ是⊙O的直径,PO⊥AB交⊙O于P点，弦PN与AB相交于点M， 求证：PM?PN=2PO2. 分析：要证明PM?PN=2PO2，即证明PM?PC =PO2， 过O点作OC⊥PN于C，根据垂经定理 NC=PC，只需证明 PM?PC=PO2，要证明PM?PC=PO2只需证明Rt△POC∽Rt△PMO. 证明: 过圆心O作OC⊥PN于C，∴PC= PN ∵PO⊥AB, OC⊥PN，∴∠MOP=∠OCP=90°. 又∵∠OPC=∠MPO，∴Rt△POC∽Rt△PMO. ∴ 即∴PO2= PM?PC. ∴PO2= PM?PN，∴PM?PN=2PO2. 【例1】如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。 【例2】如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点， 那么OP的长的取值范围是_________． 【例3】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上， 则∠C的度数是________. 2．? 遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 例 如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N． 求证：BA·BM=BC·BN； 如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值． 分析：要证BA·BM=BC·BN，需证△ACB∽△NMB，而∠C=90°，所以需要△NMB中有个直角，而BN是圆O的直径，所以连结MN可得∠BMN=90°。 证明：连结MN，则∠BMN=90°=∠ACB ∴△ACB∽△NMB ∴ ∴AB·BM=BC·BN 解：连结OM，则∠OMC=90° ∵N为OC中点 ∴MN=ON=OM，∴∠MON=60° ∵OM=OB，∴∠B=∠MON=30° ∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6 【例4】如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2, ∠B= 3．? 遇到90°的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 【例5】如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°， AB=6，AC=8，⊙O的半径是 5．? 遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）（2）常常添加连结圆上一点和切点 作用：1、可构成弦切角，从而利用弦切角定理。 2、利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。 【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB的延长线于D，求证：AC=CD． ? 6．? 遇到证明某一直线是圆的切线时 切线判定分两种：公共点未知作垂线、公共点已知作半径 切线的判定定理是：“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”，就是说，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：（1）直线经过半径的外端，（2）直线垂直于这条半径，所以,在证明直线是切线时, 往往需要通过作恰当的辅助线,才能顺利地解决问题.下面是添辅助线的小规律. 1．无点作垂线 需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径. 例7．已知：如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于A， BC⊥AB于B，若∠DOC= 90°. 求证：DC是⊙O的切线. 分析：DC与⊙O没有交点，“无点作垂线”，过圆心O作OE⊥DC，只需证OE等于圆的半径.因为AO为半径，若能证OE=OA即可.而OE、OA在△DEO、△DAO中，需证明△DEO≌△DAO 证明：作OE⊥DC于E点，取DC的中点F，连结OF. 又∵∠DOC= 90°. ∴ FO=FD ∴∠1=∠3. ∵AD⊥AB，BC⊥AB, ∴BC∥AD, ∴OF为梯形的中位线. ∴OF∥AD . ∴ ∠2=∠3. ∴∠1=∠2. ∴DO是∠ADE的角平分线. ∵OA⊥DA，OE⊥DC， ∴OA=OE=圆的半径. ∴ DC是⊙O的切线. 2．有点连圆心. 当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，