哈工大控制工程课件5.ppt

§5.4　乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 一、映射定理（幅角定理） 设有一复变函数为： 由复变函数的理论可知： 　　如果函数F(s)在s平面的指定区域内是非奇异的，则对应于此区域上的任何一点d，都可以通过F(s)的映射关系在F(s)平面内找到对应的一个点d′(称d′为d的象)，对于s平面内任何一条不通过F(s)奇异点的封闭曲线Γ，也可以通过F(s)的映射关系在F(s)平面内找到一条与之相对应的封闭曲线Γ′(称Γ′为Γ的象)。 复变函数的相角可以表示为： 若在s平面上的封闭曲线包围了F(s)的一个零点z1，其它的零极点都位于封闭曲线之外，则当s沿着s平面上的封闭曲线顺时针方向移动一周时，相量(s+z1)的相角变化－2π，其它各相量的相角变化为零，即 这意味着在F(s)平面上映射的曲线沿顺时针方向围绕着原点旋转一周。 　若s平面上的封闭曲线包围着F(s)的Z个零点。则在F(s)平面上映射的曲线将按顺时针方向围绕着坐标原点Z周。 　若s平面上的封闭曲线包围着F(s)的P个极点。当s沿着s平面上的封闭曲线顺时针方向移动一周时，则在F(s)平面上映射的曲线将按逆时针方向围绕着坐标原点P周。 映射定量(幅角定理)： 　　设s平面上不通过F(s)任何奇异点的某条封闭曲线Γ，它包围了F(s)在s平面上的Z个零点和P个极点，当s以顺时针方向沿封闭曲线Γ移动一用时，则在F平面上相对应于封闭曲线Γ的像Γ′将以顺时针的方向围绕原点旋转N圈。N与Z、P的关系为 N=Z－P。 二、乃奎斯特稳定判据 设系统的开环传递函数为 构造辅助函数 辅助函数F(s)具有以下特点： (1)辅助函数F(s)是闭环特征多项式与开环特征多项式之比，其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。 (2)F(s)的零极点数目相同，都为n。 (3)F(s)与开环传递函数G(s)H(s)之间只差一个常量1，F(s)=1+ G(s)H(s)的几何意义为：F平面的坐标原点就是GH平面的(-1,j0)点。 为了确定辅助函数F(s)位于右半s平面内的所有零点和极点数，将封闭曲线Γ扩展展为整个右平面。为此，Γ曲线由以下3段所组成： Ⅰ. 正虚轴s=jω，ω从0变化到+∞； Ⅱ. 半径为无限大的右半圆，s= R ejθ，R→∞，θ由π/2变化到-π/2； Ⅲ. 负虚轴s=jω，ω从-∞变化到0。 Ⅰ Ⅱ Ⅲ R ejθ R→∞ 乃奎斯特回线 Re Im 奈氏曲线肯定包围了F(s)位于s平面右半部的所有零点和极点。 根据映射定理，当s沿着平面上的奈奎斯特曲线移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线将按逆时针方向围绕坐标原点旋转N=P-Z。 设复变函数F(s)在s平面的右半部有Z个零点和P个极点。 　　闭环系统稳定的充要条件是：F(s)在s平面的右半部无零点，即Z=0。 　　如果在s平面上，s沿着奈奎斯特曲线顺时针移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线Γ′围绕坐标原点按逆时针方向旋转N=P周，则系统是稳定的。 G(s)H(s)=F(s)-1，这意味着F(s)的映射曲线Γ′围绕原点的运动情况，相当于G(s)H(s)围绕着(-1,j0)点的运动情况。 奈奎斯特稳定判据—闭环控制系统稳定的充分和必要条件是，当ω从-∞变化到+∞时，系统的开环频率特性G(jω)H(jω)按逆时针方向包围(-1,j0)点P周，P为位于s平面右半部的开环极点的数目。 若开环系统是稳定的，即位于s平面右半部的开环极点的数目为零，则闭环控制系统稳定的充分和必要条件是，当ω从-∞变化到+∞时，系统的开环频率特性不包含(-1,j0)点。 例5.4.1　设系统的开环频率特性为 用乃氏判据判别系统的稳定性。 系统的乃氏曲线见P43页。 系统的右半平面的开环极点数P＝0 系统的开环频率特性不包含(-1,j0)点。N＝0。 N＝P－Z 所以P＝0，则闭环系统稳定。 例5.4.2　设系统的开环频率特性为 ω=0时，P(ω)=5.2; ω=2.5时，P(ω)=0；Q(ω)=-5.06； ω=3时，P(ω)=2；Q(ω)=0； ω=∞，终止在原点。 N=-2，N=P-Z，P=0，Z=2，F(s)有两个不稳定的零点，闭环系统有两个不稳定的极点。 判断何时系统稳定？ 0.1 0.2 1 2 10 20 100 0db 20db 40db -20db --40db L(ω) ω [+20] 8db 返回 惯性环节L(ω) 三、积分环节 积分环节的传递函数为 ： 频率特性表达式为： ω＝1时，L(ω)＝-20lg1=0dB ω＝10时，L(ω)＝-20lg10=-20dB 0.1 0.2 1 2 10 20 100 0db 20db 40db -20db --40db L(ω) ω [-20] 返回 积分环节L(ω)