因式分解常用方法.ppt

* * 知识结构 因式分解常用方法 提公因式法 公式法 十字相乘法 分组分解法 拆项添项法 配方法 待定系数法 求根法 …… 一、提公因式法 只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。 提公因式法随堂练习： 1）15(m–n)+13(n–m) 2）4(x+y)+4(x–3y) 二、公式法 只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。 接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。 常用公式 1、(a+b)(a–b)=a2–b2 （平方差公式） 2、(a±b)2=a2±2ab+b2 （完全平方公式） 3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2) 及 a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2) （立方和、差公式） 5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 （完全立方和公式） 6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导 这是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推导过程 不要与(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆 公式法随堂练习： 1）(a2–10a+25)(a2–25) 2）x3+3x2+3x+1 二、公式法 只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。 三、十字相乘法① 前面出现了一个公式： (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式） 例1：因式分解x2+4x+3 可以看出常数项 3 = 1×3 而一次项系数 4 = 1 + 3 ∴原式=(x+1)(x+3) 暂且称为p、q型因式分解 例2：因式分解x2–7x+10 可以看出常数项10 = (–2)×(–5) 而一次项系数 –7 = (–2) + (–5) ∴原式=(x–2)(x–5) 这个公式简单的说， 就是把常数项拆成两个数的乘积， 而这两个数的和刚好等于一次项系数 十字相乘法①随堂练习： 1）a2–6a+5 2）a2–5a+6 3）x2–(2m+1)x+m2+m–2 三、十字相乘法② 试因式分解6x2+7x+2。 这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。 既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd 所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。 = 17 3 x2 + 11 x + 10 6 x2 + 7 x + 2 2 3 1 2 4 + 3 = 7 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2) 1 3 5 2 2 + 15 = 11 1 3 2 5 5 + 6 ∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5) = –6 5 x2 – 6 xy – 8 y2 试因式分解5x2–6xy–8y2。 这里仍然可以用十字相乘法。 1 5 –2 4 4 – 10 ∴5x2–6xy–8y2 =(x–2y)(5x+4y) 简记口诀： 首尾分解，交叉相乘，求和凑中。 十字相乘法②随堂练习： 1）4a2–9a+2 2）7a2–19a–6 3）2(x2+y2)+5xy 四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。 例1：因式分解 ab–ac+bd–cd 。 解：原式 = (ab – ac) + (bd – cd) = a (b – c) + d (b – c) = (a + d) (b – c) 还有别的解法吗？ 四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。 例1：因式分解 ab–ac+bd–cd 。 解：原式 = (ab + bd) – (ac + cd) = b (a + d) – c (a + d) = (a + d) (b – c) 例2：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。 解：原式 = (x5+x4+x3)+(x2+x+1) = (x3+1)(x2+x+1) = (x+1)(x2–x+1)(x2+x+1) 立方和公式 分组分解法随堂练习： 1）xy–xz–