复变函数课件第3章1复变函数的积分.ppt

例 解 依题意知, * 第三章 复变函数的积分 复变函数的积分 柯西定理与柯西公式 * 3.1 复变函数的积分 复变函数积分的概念 有向线段 若曲线C是开口弧段，若规定它的端点A为起点，B为中点，则沿曲线C从A到B的方向为曲线C的正向，而由B到A的方向称为C的负向，并把负向曲线记为C-； 若C是简单闭曲线，通常规定逆时针方向为正向，顺时针方向为负向； 若C是复平面上某一个复连域的边界曲线，则C的正向应按如下规定：当人沿曲线C行走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界的部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针方向为正向。 * 复数域中定积分的定义 设 f(z) 是简单曲线C的连续函数 简单有向曲线C以 起点，以 为终点，并被分成n个弧段，分点为： 是弧 上的任意一点 表示弧段长度的最大值 若不论对C的分法和对 的取法， 且 趋于零时，和式 极限存在且唯一 * 该极限就被称为函数 沿有向曲线C从 到 的积分，记做： 该积分就是极限和： * 复积分存在条件 定理一 * 说明 * 从形式上可以看成是 公式 * 复积分的基本性质 C-:曲线C的反方向曲线 * 估值定理 * 复积分的计算 * 例 解 直线方程为 * 例 解： x y O * 例 解 积分路径的参数方程为 * 例 解 积分路径的参数方程为 * 重要结论：积分值与路径圆周的中心、半径无关. * 3.2 柯西定理与柯西公式 柯西定理 复积分的牛顿－莱布尼兹公式 复合闭路定理 柯西积分公式 高阶导数公式 * 3.2.1 柯西定理 定理二：柯西－古莎定理 定理三： * 注意1 定理中的 C 可以不是简单曲线. 注意2 定理的条件必须是“单连通区域”. 注意3 定理不能反过来用. * 3.2.2 复积分的牛顿－莱布尼兹公式 定义：复积分上限的函数 定理四 * 定义： * 定理五：（牛顿－莱布尼兹公式） * 证明 * 例： 解： 例： 解： * 3.2.3 复合闭路定理 讨论多连通域上解析函数的积分 * 那么 构成复合闭路 复合闭路定理 * 证明 A1 A2 A3 A4 C1 C2 E F G I H * A1 A2 A3 A4 C1 C2 E F G I H * 当 n 为其它值时，可同样证明。 * 特殊情况：闭路变形原理 由复合闭路原理 这就是闭路变形原理 * 解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值. 在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点. 说明： * 回顾前述例题结论： 该结论将被经常使用。 *