复数及复变函数 河南理工大学 王洪涛.ppt

CH1 复数及复变函数 3. 三角形式 §5 复变函数 1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似 本章作业 1.（3）； 4.（4）； 8.（4），（5）； 14.（2），（4）； 16.； 21.（4） ，（6），（8），（10） ； 22.（6），（7），（10）； 26.（4）； 31.或 32. 2. 简单曲线（或Jardan曲线) 令z(t)=x(t)+iy(t) a≤t≤b ; 则曲线方程可记为：z=z(t)， a≤t≤b 有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线. 重点 设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b， 对于t1∈(a，b), t2 ∈[a, b],当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)， 称z(t1)为曲线C的重点. 定义 称没有重点的连续曲线C为简单曲线或 Jardan曲线;若简单曲线C 满足z(a)=z(b)时，则称此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线 . z(a)=z(b) 简单闭曲线 z(t1)=z(t2) 不是简单闭曲线 简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， t∈[a，b]，把复 平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有 界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为 C的外部；还有一个是它们的公共边界. z(a)=z(b) 内部 外部 边界 3. 单连通域与多连通域 定义 复平面上的一个区域 B ， 如果B内的任何简单闭曲线的 内部总在B内，就称 B为单连通 域；非单连通域称为多连通域. 多连通域 单连通域 例如 |z|R（R0）是单连通的； 0≤r|z|≤R是多连通的. 单连通域 多连通域 单连通域 3. 反函数或逆映射 2. 映射的概念 1. 复变函数的定义 定义 例1 例2 2. 映射的概念 ——复变函数的几何意义 定义域 函数值集合 在几何上， w=f(z)可以看作： o x y (z) G o u v (w) G G* w=f(z) z w=f(z) w 以下不再区分函数与映射（变换）. 在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观. 复变函数的几何意义是一个映射（变换） o x y (z) x、u y、v (z)、(w) o 图1-1 图1-2 图2 x、u y、v (z)、(w) o u v (w) o o u v (w) o x y (z) o u v (w) R=2 R=4 例3 o x y (z) 3. 反函数或逆映射 例 设 z=w2 则称 为z=w2的反函数或逆映射 ∴为多值函数,2支. 定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G* 则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）. 例5 例4 已知映射w= z3 ，求区域 0argz 在平面w上的象. §6 复变函数的极限与连续性 1. 函数的极限 3.函数的连续性 2. 运算性质 1. 函数的极限 定义 u v (w) o A x y (z) o 几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 ε邻域中 (1) 意义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数. (3) 若f(z)在 处有极限,其极限是唯一的. 2. 运算性质 复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理1 定理2 以上定理用极限定义证! 例1 例2 例3 3.函数的连续性 定义 定理3 例4 证明f (z)=arg z 在原点及负实轴上不连续. 证明 x y (z) o z z 定理4 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数. 有界性： * ? 2009, Henan Polytechnic University * 第一章复数及复变函数 * * 1、复数及其代数运算 2、复数的表示方法 3、复数的乘幂与方根 4、区域 5、复变函数 6、复变函数的极限与连续性 1. 复数的概念 §1复数及其代数运算 3. 共轭复数 2. 代数运算 一般任意两个复数不能比较大小. 1. 复数的概念 定义 对任意两实数x、