复数及其应用17.3-17.4.pptx

17.3 复数的几何意义及三角形式 （1）理解复平面、实轴、虚轴的概念 （2）掌握求复数的模、辐角主值的计算方法 （3）掌握复数的三角形式的定义并能进行代数形式和三角形之间的互化 1.复平面 任何一个实数a都可以用数轴上的一个点表示．例如，实数1.5可以用数轴上的点A表示. 问题：复数z=a+bi能否也用一种类似的方法来表示呢？ 由复数相等的定义知，任何一个复数z=a+bi都对应唯一的有序实数对(a，b)，其中a，b分别为复数z的实部和虚部，而有序实数对(a，b)又对应直角坐标平面内的唯一的一个点Z ，其坐标为(a，b)，如图所示 就建立了复数 与直角坐标平面内的点Z(a，b)之间的一一对应关系 瑞士数学家阿甘特在1806年提出的“阿甘特图” （复平面） 实轴 虚轴（原点除外） a b 例1、在复平面内作出表示下列复数的点 （1）4i （2）4 （3）2+i （4）-2+2i （5）2-3i （6） -2-2i 思考交流： 1.表示纯虚数的点在复平面内的什么位置？ 2. 表示实数的点在复平面内的什么位置？ 3. 表示复数0的点是复平面内的哪个点？ P70 练习1、2 2.复数的模与辅角 复平面内，表示复数z=a+bi的点Z（a,b）到原点的距离叫做复数的模，记作|z|，即 .同时，以x轴正半轴为始边，OZ为终边的角θ叫做复数的辐角. 说明： 1、复数的辐角不唯一，区间（-π，π]内的辐角叫做辐角主值，记作argz . 2、复数0的辐角是任意值. 3、当点Z（a，b）在某个象限内时，其辐角θ可以由 和点Z（a，b）所在的象限确定. 思考交流： 例2 、求复数 1+i 的模与辐角主值. 例3、用计算器求复数-2-3i的模和辐角. 例4、求证： 思考交流： 1.模相等的所有复数在复平面内形成一个什么样的图形？ 2. 辅角相等的所有复数在复平面内形成一个什么样的图形？ P72 练习1、2 圆 射线 3.复数的三角形式 有了复数的模和辐角，我们可以用另一种形式来表示复数 a=rcosθ b=rsinθ ——复数的三角形式 说明：复数的三角形式中： （1）r 0 ； （2）实部为rcosθ，虚部为rsinθ； （3）实部与虚部之间用“+”号连接. 想一想： 如果两个非零复数的模相等，辐角不相等，那么这两个复数会相等吗?为什么？ 与复数的代数形式不同，一个复数的三角形式不是唯一的，设 ，则 都是z的三角形式.为了使运算结果一致，本章中，如果不加说明，复数的辐角指的是辐角主值. 例5、指出下列复数的模和辅角 P74 练习1 思考交流： P74 练习1 思考交流： 1.复数0的三角形式是什么？ 2.非零实数的三角形式是什么？ 3.纯虚数的三角形式是什么？ 结论：共轭复数的模相等，辐角互为相反数。 P75 练习3 17-4 棣莫弗定理与欧拉公式 （1）理解复数的指数形式与极坐标形式，并会利用它们进行复数的运算 （2）会进行复数的代数形式、三角形式和指数形式之间的互化 （3）掌握复数三角形式的乘除法运算和棣莫弗定理、欧拉公式 一、复数三角形式的乘法和除法运算 实际运算时，经常使用复数的三角形式进行乘法、乘方、除法运算. 1、乘法 设： 则： 结论：乘积的模等于两个复数的模的乘积，乘积的辐角等于两个复数的辐角的和. 上面的结论可推广到有限个复数相乘．即 结论：复数的n次幂的模等于这个复数的模的n次幂，辐角等于这个复数的辐角的n倍. 2、除法 两个复数的商仍然是复数，它的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 例1、计算： （1） （2） 例2、计算： 例3、计算下列各题，并将结果用代数形式表示: （1） （2） （3） 问题解决： P77 练习 二、棣莫弗定理 一般的，