2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习：第4章 第3节 平面向量数量积和平面向量应用举例课件.ppt

第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例 2．范围 向量夹角θ的范围是 ，a与b同向时，夹角θ＝ ；a与b反向时，夹角θ＝ ． 3．向量垂直 如果向量a与b的夹角是 ，则a与b垂直，记作 ． 二、平面向量数量积 1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝ ，其中θ是a与b的夹角． 规定0·a＝0. 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝ ． 2．a·b的几何意义： 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 的乘积． 四、数量积的运算律 1．交换律：a·b＝ ． 2．分配律：(a＋b)·c＝ ． 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ ＝ ． [关键要点点拨] 1．对两向量夹角的理解 (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角． (2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π. (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围． 2．向量运算与数量运算的区别 (1)若a，b∈R，且a·b＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却不能得出a＝0或b＝0. (2)若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c. (3)若a，b，c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(a·b)·c与a·(b·c)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的． (4)若a，b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立． [典题导入] (1)若向量a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝ (　　) A．6　　　　　　 B．5 C．4 D．3 [听课记录]　8a－b＝8(1，1)－(2，5)＝(6，3)， 所以(8a－b)·c＝(6，3)·(3，x)＝30. 即18＋3x＝30， 解得x＝4. 答案　C [规律方法] 平面向量数量积问题的类型及求法 (1)已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|·cos θ求解； (2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解． [典题导入] (1)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°，a＋b＋c＝0，则a与c的夹角为 (　　) A．150°　　　 B．90° C．60° D．30° [听课记录]　∵a·b＝1×2×cos 120°＝－1，c＝－a－b， ∴a·c＝a·(－a－b)＝－a·a－a·b＝－1＋1＝0，∴a⊥c. ∴a与c的夹角为90°. 答案　B (2)(2013·大纲版全国高考)已知向量m＝(λ＋1，1)， n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝ (　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 [听课记录]　∵(m＋n)⊥(m－n)， ∴(m＋n)·(m－n)＝0. ∴|m|2－|n|2＝0， 即(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0. ∴λ＝－3.故选B. 答案　B [规律方法] 1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律； (2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角． 2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系． [跟踪训练] 2．(1)设向量a＝(x－1，1)，b＝(－x＋1，3)，则a⊥(a－b)的一个充分不必要条件是 (　　) A．x＝0或2 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝±2 (2)已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝a＋λb(λ∈R)，向量d如图所示，则 (　　) A．存在λ0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ0，使得向量c与向量d共线 [规律方法] 向量与其它