数学表达式解析(前缀、中缀、后缀).docx

前缀、中缀、后缀表达式它们都是对表达式的记法，因此也被称为前缀记法、中缀记法和后缀记法。它们之间的区别在于运算符相对与操作数的位置不同：前缀表达式的运算符位于与其相关的操作数之前；中缀和后缀同理。举例：(3 + 4) × 5 - 6 就是中缀表达式- × + 3 4 5 6?前缀表达式3 4 + 5 × 6 -?后缀表达式中缀表达式（中缀记法）中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式，但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的，因此计算表达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。对计算机来说，计算前缀或后缀表达式的值非常简单。前缀表达式（前缀记法、波兰式）前缀表达式的运算符位于操作数之前。前缀表达式的计算机求值：从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。例如前缀表达式“- × + 3 4 5 6”：(1) 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈；(2) 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；(3) 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈；(4) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。可以看出，用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。将中缀表达式转换为前缀表达式：遵循以下步骤：(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；(2) 从右至左扫描中缀表达式；(3) 遇到操作数时，将其压入S2；(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；(5) 遇到括号时：(5-1) 如果是右括号“)”，则直接压入S1；(5-2) 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边；(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为前缀表达式的过程如下：扫描到的元素S2(栈底-栈顶)S1 (栈底-栈顶)说明55空数字，直接入栈-5-S1为空，运算符直接入栈)5- )右括号直接入栈45 4- )数字直接入栈×5 4- ) ×S1栈顶是右括号，直接入栈)5 4- ) × )右括号直接入栈35 4 3- ) × )数字+5 4 3- ) × ) +S1栈顶是右括号，直接入栈25 4 3 2- ) × ) +数字(5 4 3 2 +- ) ×左括号，弹出运算符直至遇到右括号(5 4 3 2 + ×-同上+5 4 3 2 + ×- +优先级与-相同，入栈15 4 3 2 + × 1- +数字到达最左端5 4 3 2 + × 1 + -空S1中剩余的运算符因此结果为“- + 1 × + 2 3 4 5”。后缀表达式（后缀记法、逆波兰式）后缀表达式与前缀表达式类似，只是运算符位于操作数之后。后缀表达式的计算机求值：与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素 op?栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”：(1) 从左至右扫描，将3和4压入堆栈；(2) 遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；(3) 将5入栈；(4)?接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；(5) 将6入栈；(6) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。将中缀表达式转换为后缀表达式：与转换为前缀表达式相似，遵循以下步骤：(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；(2) 从左至右扫描中缀表达式；(3) 遇到操作数时，将其压入S2；(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(