幂级数经典课件.ppt

幂级数 主要内容： 函数项级数。 幂级数及其收敛性。 幂级数的运算。 函数展开为幂级数。 一、函数项级数 在前面， 我们曾讨论过公比为q的无穷等比级数： 当|q|1时，级数是收敛的， 其和为 ， 因此我们也可以把q看作(-1，1)内变化的一个自变量，用x代替它，即可得到: 由于上式对区间(-1，1)内的每一个q值都成立， 它的每一项都是以x为自变量的函数。 则称点x0为函数项级数(8-3)的一个收敛点； 收敛点的全体构成的集合， 一般地， 由定义在同一区间内的函数序列构成的无穷级数： u1(x) + u2 (x)+ ··· + un (x)+ ··· (8-3) 称为函数项级数， 记为 。 在函数项级数(8-3)中,若令x取定义域中某一确定值x0， 则得到一个数项级数 u1(x0) + u2 (x0)+ ··· + un (x0)+ ··· 称为函数项级数的收敛域。 若该数项级数收敛， 反之，则称点x0为函数项级数(8-3)的发散点。 且称之为函数项级数的部分和函数， 若x0是收敛域内的一个值， 则必有一个和S(x0)与之对应， 即 S(x0) = u1(x0) + u2 (x0) + ··· + un (x0) + ··· 这个函数S(x)就称为函数项级数的和函数。 当x0在收敛域内变化时， 上述级数的和S(x0)也随之变化， 就得到一个定义在收敛域上的函数S(x)， 即 S(x) = u1(x) + u2 (x) + ··· + un (x) + ··· 那么在函数项级数的收敛域内有 将函数项级数的前n项和记为Sn(x)， 即 Sn(x) = u1(x) + u2 (x) + ··· + un (x) 二、幂级数及其收敛性 和 = a0 + a1(x-a) + a2(x-a)2 + ···+ an(x-a)n + ··· (8-5) 一般地， 形如 = a0 + a1x + a2x2 + ··· + anxn + ··· (8-4) 的级数称为幂级数。 其中an (n=0,1,2, ···) 和a都是常数， an称为幂级数的系数。 对于级数(8-5)， 只要令 x-a= t, 就可化为(8-4)的形式, 因此下面我们主要讨论级数(8-4)。 所以区间(-1,1)就是该幂级数的收敛域。 或者说幂级数(8-4)在点x0处收敛； 对于幂级数(8-4)，它的每一项在区间(-∞,+∞)内都有定义， 因此对于每个给定的实数值x0，将其代入(8-4)式， 就得到一个数项级数: 如果(8-6)收敛， 则称点x0为幂级数(8-4)的收敛点， 如果(8-6)发散， 则称点x0为幂级数(8-4)的发散点， 或者说幂级数(8-4)在点x0处发散。 所有收敛点的集合称为幂级数的收敛域， 所有发散点的集合称为幂级数的发散域。 例如幂级数 ， 当x在区间(-1,1)内取任一个值x0时， 级数 都收敛， 其和为 。 而(-∞,-1)及(1,+∞)就是该幂级数的发散域。 则称幂级数为不缺项， 设幂级数 中an≠0 ( n=0,1,2, …)， 否则称为缺项幂级数。 在级数(8-4)中，设 ， 用比值判别法，得 则 (3)当ρ= 0，即ρ|x|=0时，级数(8-4)对任何x值收敛。 (1)当ρ|x|1，即 时，级数(8-4)收敛； (2)当ρ|x|1，即 时，级数(8-4)发散； 因此，令 ，即 ，就得到下面定理: 在x=±R处，可能收敛也可能发散(此时ρ=1)， 而当|x|R时幂级数发散； 定理 则有： (1)如果0R+∞ , 则当|x|R时幂级数收敛， (2)如果R=+∞， 则幂级数在(-∞，+∞)内收敛； (3)如果R=0， 则幂级数仅在x=0处收敛。 由定理知： 设幂级数 是不缺项的， 幂级数在 的收敛域是以坐标原点为中点，长度为2R的区间(特殊情况可能是整个数轴，也可能只是坐标原点)。 它在(-R，R)内收敛； 在(-R，R)外发散； 通常称R为幂级数 的收敛半径， 区间(-R,R)称为幂级数的收敛区间。 例1 求幂级数 的收敛半径。 解： 收敛半径： 即级数